序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

1.課時教學(xué)內(nèi)容的地位、作用和意義：

質(zhì)數(shù)和合數(shù)是在學(xué)生已經(jīng)掌握了約數(shù)和倍數(shù)的意義，了解了能被2，5，3整除的數(shù)的特征之后學(xué)習(xí)的又一重要內(nèi)容，它是學(xué)生學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)，求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)，在本章教學(xué)內(nèi)容中起著承前啟后的重要作用。

2.教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識和技能：

①掌握質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，會正確判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

②知道自然數(shù)還可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)與1三類。

（2）過程和方法：通過100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表的制作，使學(xué)生學(xué)會合理選取學(xué)習(xí)材料的方法。

（3）情感、態(tài)度和價值觀：通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、獨(dú)立思考、合作交流的能力。

二、說學(xué)情

《數(shù)的整除》這一單元，概念多，理解難，易混淆。學(xué)生通過對約數(shù)和倍數(shù)以及能被2，5，3整除的數(shù)的學(xué)習(xí)，有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握約數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。

三、說教法

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要為學(xué)生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探究和合作的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)本節(jié)知識特點(diǎn)和小學(xué)生的年齡特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律，遵照課標(biāo)精神，我采取了動手操作，引導(dǎo)探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)分類歸納的數(shù)學(xué)意識和品質(zhì)的教學(xué)方法。

四、說學(xué)法

教師的任務(wù)不僅要使學(xué)生學(xué)會，更重要的是要使學(xué)生會學(xué)。因此，我在設(shè)計(jì)這個教學(xué)內(nèi)容時分了這樣幾個層次。

第一層次：首先讓學(xué)生從1到20中隨意挑選5個數(shù)寫出這5個數(shù)的約數(shù)，然后通過匯總整理歸納，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自然數(shù)還可以按約數(shù)的個數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)與1。

第二層次：接著通過判斷一些數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念以及掌握質(zhì)數(shù)與合數(shù)的判斷方法。

第三層次：要求學(xué)生通過小組合作的方法來制作一張質(zhì)數(shù)表。

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中我就設(shè)計(jì)了4張數(shù)表，讓學(xué)生通過對數(shù)表的選擇，來感悟?qū)W習(xí)材料的選擇對方法的應(yīng)用是有影響的。從而使學(xué)生領(lǐng)悟到今后在研究問題時，要注意選擇最方便自己解決問題的方法。

在找2到50中的質(zhì)數(shù)這一環(huán)節(jié)，我給學(xué)生以充足的時間和空間，讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后組內(nèi)互相交換意見，這樣學(xué)習(xí)方式就變得多樣化了，同時也使學(xué)生感受到了合作交流的重要性，從而自發(fā)地掌握了學(xué)習(xí)方法。整個過程，從思維的形式上說，是有聯(lián)系的，有序的，處于“做數(shù)學(xué)”的水平。促使學(xué)生學(xué)習(xí)和反思“動腦”的方法，真正學(xué)會學(xué)習(xí)。

第四層次：在制作完質(zhì)數(shù)表后，我安排學(xué)生用質(zhì)數(shù)表來判斷質(zhì)數(shù)和合數(shù)，使學(xué)生體會到質(zhì)數(shù)表的優(yōu)越性。

第五層次：最后安排了一個小游戲，用今天學(xué)到的知識和以前學(xué)到的知識來介紹自己的學(xué)號。游戲練習(xí)、符合小學(xué)生的興趣，學(xué)生都樂于積極參與，在收到鞏固的最佳效果的同時，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

一、說教材：

質(zhì)數(shù)和合數(shù)是在約數(shù)和倍數(shù)以及能被2、5、3整除的數(shù)的特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。質(zhì)數(shù)和合數(shù)是求最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分的基礎(chǔ)。因此這部分內(nèi)容的教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，而且能記較快地看出常見數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。這一節(jié)內(nèi)容中抽象概念較多，而且有些概念容易混淆，如：質(zhì)數(shù)與奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)等。

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生能理解質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，會正確判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

2.能初步弄清質(zhì)數(shù)與奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)等概念的區(qū)別及聯(lián)系，提高學(xué)生對知識的把握水平。

3.讓學(xué)生在活動中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

4.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納、概括能力。

教學(xué)重、難點(diǎn)：

1.掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，準(zhǔn)確判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

2.奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。

二、說教法、學(xué)法：

首先，在學(xué)習(xí)準(zhǔn)備中讓學(xué)生根據(jù)以往的知識經(jīng)驗(yàn)，對小組號碼數(shù)字進(jìn)行分類（按奇數(shù)、偶數(shù)分，按位數(shù)分等等）。對學(xué)生不同的分法老師都給予肯定，同時引導(dǎo)學(xué)生對非零自然數(shù)的另一種分法，即按一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)來分，從而引入新課。

其次，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出自己小組號碼數(shù)的約數(shù)，并繪制成表，讓學(xué)生觀察表“按約數(shù)的個數(shù)來分”該怎樣來分。通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)這三類數(shù)的特點(diǎn)，歸納、概括出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。然后教學(xué)例2：質(zhì)數(shù)和合數(shù)的判斷。教師指出還可以通過查質(zhì)數(shù)表來判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生制作質(zhì)數(shù)表。從而使學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)等概念的區(qū)別及聯(lián)系。

再次是一些練習(xí)題鞏固所學(xué)知識，拓展學(xué)生思維。最后課堂小結(jié)布置作業(yè)。

三、說教學(xué)過程：

（一）學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：讓學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對自己的小組號碼數(shù)進(jìn)行分類（按奇數(shù)、偶數(shù)分，按位數(shù)分等等），同時引導(dǎo)學(xué)生對非零自然數(shù)的另一種分法，即按一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)來分，從而引入新課。

（二）探究新知：

1.建立質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念：

找約數(shù)進(jìn)行分類、觀察歸納出質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念。

2.教學(xué)例2：質(zhì)數(shù)和合數(shù)的判斷。

“你認(rèn)為怎樣去判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？”

告訴學(xué)生還可以通過查質(zhì)數(shù)表來判斷，并指導(dǎo)學(xué)生制作質(zhì)數(shù)表，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，初步弄清質(zhì)數(shù)與奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)等概念的區(qū)別及聯(lián)系。

（三）鞏固拓展應(yīng)用：

1.填空2.判斷3.思維訓(xùn)練

篇(2)

【關(guān)鍵詞】數(shù)軸 概念教學(xué) 數(shù)感培養(yǎng)

吳亞萍教授把概念教學(xué)分為“數(shù)概念、形概念、統(tǒng)計(jì)概念、度量概念”，其中“數(shù)概念”是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、平均數(shù)等與“數(shù)”有密切關(guān)系的概念，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算、與數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號感的重要載體。學(xué)生在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題是一種常用的思想方法。數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的教學(xué)方法。在我校開展的卷入式校本教研活動中，我們開辟了一個數(shù)概念教學(xué)之?dāng)?shù)軸篇，通過實(shí)踐與研究，得到一些關(guān)于數(shù)概念教學(xué)的啟示，下面就從中采擷一些教學(xué)案例對如何借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)概念教學(xué)談一些粗淺的體會。

一、借助數(shù)軸，發(fā)展數(shù)感培養(yǎng)

數(shù)感的培養(yǎng)是數(shù)與計(jì)算教學(xué)領(lǐng)域改革的一個重要理念，學(xué)生數(shù)感的建立需要一個逐步體驗(yàn)和發(fā)展的過程，小學(xué)階段培養(yǎng)數(shù)感都是運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”，給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材，形象地感知數(shù)的實(shí)際意義，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成良好的數(shù)感。小學(xué)生對直尺非常熟悉，學(xué)生在認(rèn)數(shù)的學(xué)習(xí)中，通常以直尺為原型，逐步經(jīng)歷了從“數(shù)尺”到“數(shù)線”再到“數(shù)軸”的過程，把數(shù)與“數(shù)尺”“數(shù)線”“數(shù)軸”上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來。

如在教學(xué)“負(fù)數(shù)”后，教師可在數(shù)軸上表示出正數(shù)和負(fù)數(shù)的排列順序。

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察“0”在數(shù)軸上的特殊位置，以“0”為分界點(diǎn)，0的右邊是正數(shù)，從左往右越來越大，0的左邊是負(fù)數(shù)，從右往左越來越小。借助數(shù)軸形象地感知數(shù)軸上的數(shù)從左往右的順序就是從小到大的順序，比0大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對數(shù)的知識的整體構(gòu)建。

俞正強(qiáng)老師在“數(shù)感，是如何豐滿起來的”一文中指出：在學(xué)習(xí)“負(fù)數(shù)”之前，數(shù)大多表示“多”與“少”，可在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的過程中，“數(shù)”不僅可以表示“多”“少”，更表示狀態(tài)。這是數(shù)感的又一次突破。這種數(shù)感的突破，最明顯地表現(xiàn)在對“0”的認(rèn)識上。在這之前，“0”通常表示“沒有”，而在負(fù)數(shù)的認(rèn)識中，“0”則表示一種可以作為區(qū)別的狀態(tài)，即通常說的“標(biāo)準(zhǔn)”……這種相對性的體驗(yàn)，謂之為數(shù)感的培養(yǎng)。

可見，我們在研究抽象的“數(shù)”時，往往要借助于直觀的“形”，利用“數(shù)形結(jié)合”使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，豐富學(xué)生對數(shù)的形象感知，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

二、借助數(shù)軸，把握概念本質(zhì)

在日常教學(xué)中，許多教師不能把握概念本質(zhì)，以致學(xué)生對數(shù)概念的理解和認(rèn)識淺嘗輒止、浮于表面。借助數(shù)軸可以緊扣概念的本質(zhì)，展示概念的形成過程，幫助學(xué)生全面理解、準(zhǔn)確把握概念的實(shí)質(zhì)。

如在教學(xué)《求一個小數(shù)的近似數(shù)》時，以“1.496保留兩位小數(shù)”為例，應(yīng)用“四舍五入法”求小數(shù)的近似數(shù)并不難，學(xué)生真正難理解的是“近似數(shù)1.50”末尾的“0”能不能去掉，為什么？對于大多數(shù)學(xué)生而言，一般只能從小數(shù)的外在形式進(jìn)行解釋：近似數(shù)1.50末尾的“0”不能去掉，去掉了就相當(dāng)于保留一位小數(shù)。要真正從小數(shù)的內(nèi)在本質(zhì)理解“近似數(shù)1.50和1.5精確度不同”這個問題，就需要應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想來幫助學(xué)生透徹理解其中的原理，而“數(shù)軸”自然就是本課的“主角”。

下面是我利用“小數(shù)軸”啟發(fā)學(xué)生“大思考”的教學(xué)片段。

先給學(xué)生提供標(biāo)有1.4、1.5、1.6的數(shù)軸，并提出研究要求：在1.4～1.6之間可以分別找到幾個兩位小數(shù)？能得到近似數(shù)為1.5的兩位小數(shù)又有哪些？再觀察一下這些小數(shù)在數(shù)軸上的位置有什么特點(diǎn)？可以獨(dú)立探究，也可以小組合作。

經(jīng)過討論，呈現(xiàn)數(shù)軸（1）：

在學(xué)生充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)后，我利用多媒體把1.45～1.54這個區(qū)域刷紅，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察這個紅色區(qū)域：以1.5為起點(diǎn)，從左往右依次數(shù)出4個兩位小數(shù)：1.51、1.52、1.53、1.54，它們的百分位上都沒滿5，在數(shù)軸上的位置更接近1.5，所以要忽略不計(jì)百分位上的數(shù)，取1.5，也就是“四舍”。再以1.5為起點(diǎn)，從右往左也可以依次數(shù)出4個更接近1.5的兩位小數(shù)：1.49、1.48、1.47、1.46，它們的百分位上都滿了5，要向十分位上的數(shù)進(jìn)一，也就是“五入”。至于1.45，其實(shí)它剛好在1.4～1.5的正中間，離1.4和1.5的距離是相同的，那就鼓勵鼓勵它吧，讓它向大數(shù)靠攏。這樣，就產(chǎn)生了“四舍五入”的方法。

此時，學(xué)生們不僅對“四舍五入”法有了更深刻的理解，同時對得到近似數(shù)1.5的兩位小數(shù)的范圍有了一個直觀形象的感知。于是，我繼續(xù)拋出問題：“按照剛才的研究方法，你能在數(shù)軸上找一找精確到百分位可以得到近似數(shù)1.50的三位小數(shù)有哪些，這些小數(shù)在數(shù)軸上的位置又有什么特點(diǎn)呢？”

經(jīng)過討論，呈現(xiàn)數(shù)軸（2）：

從數(shù)軸上可以看出近似數(shù)是1.50的三位小數(shù)在1.495～1.504之間。隨即利用媒體把數(shù)軸（1）和數(shù)軸（2）合二為一，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，你有什么發(fā)F？

呈現(xiàn)數(shù)軸（3）：

此刻，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)無疑是精彩紛呈的……

上述教學(xué)案例表明：由于數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻，將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，從而使抽象的“數(shù)”有“形”可依。通過借助數(shù)軸對比，讓學(xué)生直觀感受近似數(shù)是1.5的兩位小數(shù)在1.45～1.54之間，而近似數(shù)是1.50的三位小數(shù)在1.495～1.504之間，范圍小了。所以作為近似數(shù)，1.5不等于1.50，近似數(shù)1.50末尾的“0”是不能去掉的。1.50比1.5更精確。

數(shù)軸不僅可以幫助學(xué)生理解求近似數(shù)的方法，更能讓他們借助“形”理解“近似數(shù)”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)！

三、借助數(shù)軸，厘清縱橫關(guān)系

兒童數(shù)概念的發(fā)展不僅表現(xiàn)在概念本身的不斷充實(shí)和改造上，而且表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的掌握上，因?yàn)樾W(xué)生要掌握的概念不是各自孤立、互不相關(guān)的，任何一個概念總是與其他有關(guān)概念有一定區(qū)別又有一定聯(lián)系的。因此，教師要經(jīng)常不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生掌握有關(guān)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，完成概念的系統(tǒng)化。

如《因數(shù)與倍數(shù)》這一單元，涉及的概念很多，尤其是如何處理好“奇數(shù)、偶數(shù)”與“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”之間錯綜復(fù)雜的關(guān)系，是一個值得探究的重要環(huán)節(jié)。每一次嘗試過后，總有一種隱隱的缺憾，在不斷實(shí)踐和完善的過程中，最終還是確定以“數(shù)軸”為突破口進(jìn)行本章節(jié)的數(shù)概念教學(xué)。

板塊一：關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)。

①數(shù)軸上圈出奇數(shù)。

②交流奇數(shù)，沒有圈的數(shù)是？（將偶數(shù)讀一讀）

觀察數(shù)軸上的奇數(shù)和偶數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

若n是奇擔(dān)那么n+1就是？若n是偶數(shù)，那n+1就是……

③把數(shù)軸上的奇數(shù)偶數(shù)分別移下來，形成兩個集合。數(shù)軸上還有數(shù)字嗎？根據(jù)是不是2的倍數(shù)，所有非零自然數(shù)不是奇數(shù)，就是

隨著數(shù)軸的繼續(xù)無限延伸，我們還會找到更多的奇數(shù)和更多的偶數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)都有無數(shù)個。

板塊二：關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)。

①在數(shù)軸上圈出質(zhì)數(shù)。

②交流質(zhì)數(shù)，沒圈出來的就都是合數(shù)？為什么1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)？

質(zhì)數(shù)和合數(shù)的排列有規(guī)律嗎？除了2和3兩個質(zhì)數(shù)是連著的，你覺得后面會不會還有連著的兩個質(zhì)數(shù)？說說你的理由。

③把數(shù)軸上的質(zhì)數(shù)、合數(shù)分別移下來，形成集合圈。數(shù)軸上的數(shù)都移下來了嗎？根據(jù)因數(shù)的個數(shù)可以把非零自然數(shù)分成三大類，其中，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的個數(shù)是無限的。

板塊三：兩種分類之后。

①同樣是非零自然數(shù)，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不一樣。同一標(biāo)準(zhǔn)分類出的數(shù)學(xué)概念之間界限清晰，你是你，我是我。但不同分類標(biāo)準(zhǔn)之間的概念是否有聯(lián)系呢？比如，奇數(shù)和合數(shù)質(zhì)數(shù)之間，偶數(shù)和合數(shù)質(zhì)數(shù)之間又有什么聯(lián)系呢？

②先獨(dú)立觀察，再小組討論。

集體交流，說說你的發(fā)現(xiàn)。結(jié)合交流課件相應(yīng)呈現(xiàn)。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，教者充分挖掘教材，非常重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，巧妙利用數(shù)軸找出20以內(nèi)的奇數(shù)、偶數(shù)，整理進(jìn)集合圈，通過移一移的方式讓學(xué)生直觀感受到一個非0自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；同理，整理20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)和合數(shù)，使學(xué)生清晰地看到一個非0自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)可以分為三類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。學(xué)生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)中的“一一對應(yīng)”，又通過質(zhì)數(shù)、合數(shù)沒有明顯的排列規(guī)則中聯(lián)想和辨析是否還有像2、3這樣兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題。但教師并未就此結(jié)束，而是繼續(xù)利用數(shù)軸找尋按不同分類標(biāo)準(zhǔn)得到的概念之間的聯(lián)系，不但找出了不同分類標(biāo)準(zhǔn)中各數(shù)字的不同，更關(guān)注了數(shù)與數(shù)之間存在聯(lián)系的數(shù)字：“2是奇數(shù)與質(zhì)數(shù)間的障礙，9和15是奇數(shù)與合數(shù)間的聯(lián)系?！笨芍^聯(lián)系中有區(qū)別，區(qū)別中有聯(lián)系。

利用數(shù)軸，直觀形象地厘清了奇數(shù)和合數(shù)、質(zhì)數(shù)之間，偶數(shù)和合數(shù)、質(zhì)數(shù)之間的關(guān)系，不僅發(fā)展了觀察和概括能力，而且提升了推理和證明的思維水平。可見，數(shù)軸的更大作用是把數(shù)的抽象概念直觀地表達(dá)出來，既能幫助學(xué)生觸摸概念的本質(zhì)，又可以促進(jìn)學(xué)生對概念的深入辨析。

四、借助數(shù)軸，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

由于數(shù)概念包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等，基本概念較多，加之教材采用“螺旋式上升”的編排原則，把“數(shù)的基本概念”分解到了六個年級的12本書中，以一個個知識點(diǎn)的方式呈現(xiàn)這些概念，使得教學(xué)容易出現(xiàn)知識點(diǎn)“多、散、雜”的狀態(tài)，容易形成學(xué)生“只見樹木不見森林”的局面，從而使學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識和理解呈現(xiàn)出碎片式的散點(diǎn)化狀態(tài)。

“數(shù)的認(rèn)識”知識點(diǎn)多且較為零散，而數(shù)軸具有直觀和抽象的優(yōu)勢，能充分體現(xiàn)數(shù)的本質(zhì)屬性。教師始終借助數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中不斷調(diào)動已有的知識經(jīng)驗(yàn)，利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生厘清各種數(shù)概念的意義，計(jì)數(shù)方法、表示方法和分類等，同時在相互轉(zhuǎn)化中又暗含著各種數(shù)之間是彼此聯(lián)系的。引導(dǎo)在更高層面上理解和把握數(shù)的概念，進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過辨析，讓學(xué)生體會到：整數(shù)是以自然數(shù)單位“1”為基本計(jì)數(shù)單位，再按“十進(jìn)制”的規(guī)則生成其他計(jì)數(shù)單位，而分?jǐn)?shù)在單位“1”確定后，“平均分”的份數(shù)不同，分?jǐn)?shù)也不同，所以分?jǐn)?shù)單位與單位“1”之間不像整數(shù)有固化的十進(jìn)關(guān)系，作為分?jǐn)?shù)和整數(shù)的結(jié)合體――小數(shù)，它的意義要借助分?jǐn)?shù)的意義來表述。因此，當(dāng)單位“1”確定后，同一個點(diǎn)可以用不同的分?jǐn)?shù)、小數(shù)來表示。

篇(3)

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)； 數(shù)形結(jié)合思想

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-3315（2016）03-068-001

在教學(xué)過程中務(wù)必考慮學(xué)生的知識儲備和學(xué)習(xí)技能，特別是低年級的學(xué)生，對于抽象的數(shù)學(xué)概念和難以理解的數(shù)學(xué)式子都會存在理解上的困難，采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，用“形”的方式來呈現(xiàn)“數(shù)”與“數(shù)”的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的數(shù)學(xué)圖形結(jié)合起來，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)解題方法。

一、“以形助數(shù)”，借助“形”的直觀感受促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的理解

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中如果能借助圖形，直觀的感受數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而深入理解數(shù)學(xué)概念，例如在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”之后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考下面的問題：

在8的因數(shù)上面畫，在8的倍數(shù)上面畫。

學(xué)生很快就會把數(shù)1、2、4、8畫上，并直觀的感受到8的因數(shù)最小是1，最大是本身，而且是有限的，而學(xué)生在8的倍數(shù)上面畫時，情形就大不一樣了，8的倍數(shù)最小是本身，而沒有最大的因數(shù)，并且8的倍數(shù)是無限的，通過這一畫圖的過程，讓學(xué)生直觀的認(rèn)識了一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，借助數(shù)軸這個“形”，有力的促進(jìn)了學(xué)生對于因數(shù)和倍數(shù)的概念的認(rèn)識和理解，并感受到兩者的聯(lián)系和區(qū)別。

二、由“數(shù)”到“形”，通過作圖幫助理解題目含義，提升學(xué)生思維

例如我們在教學(xué)中會碰到一些難以理解或者關(guān)系復(fù)雜的題目，小學(xué)生一般缺少正確的思維模式而表現(xiàn)出無能為力，這時除了樹立學(xué)生的信心以外，還要傳授適當(dāng)?shù)姆椒?，而利用圖形來表達(dá)題目的含義，使得題目含義清晰可見，學(xué)生能很清楚直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，利用圖形能夠幫助理解抽象的數(shù)量關(guān)系，更有利于解決問題。

蘇教版教材在一年級上冊最后期末復(fù)習(xí)中安排了這樣一道思考題：從前往后數(shù)，第5只是小鹿，從后往前數(shù)，第8只是小鹿，一共有多少只小動物？

教學(xué)時，先呈現(xiàn)文字形式讓學(xué)生思考討論，有的學(xué)生試圖通過對文字的梳理來理清其中的數(shù)量關(guān)系，但難度很大，不容易上手，這個思考過程是需要的，而且是必要的，讓學(xué)生感受到解決問題時的復(fù)雜程度，從而為轉(zhuǎn)變解題思路而埋下伏筆，課堂上適當(dāng)提醒學(xué)生用畫圖形式來表述題義，啟發(fā)有沒有學(xué)生用圓圈來代表小動物，如下圖：涂色圓圈表示小鹿。

讓學(xué)生動手畫一畫，想一想，并鼓勵學(xué)生小組交流，在學(xué)生交流的時候，讓學(xué)生說清楚根據(jù)什么條件畫出了什么，感受畫圖應(yīng)根據(jù)題目條件，讓學(xué)生認(rèn)識到圖形能更加直觀地表示出數(shù)量的關(guān)系，以形助數(shù)能夠幫助我們提升思維速度。數(shù)形結(jié)合，透過數(shù)量關(guān)系去發(fā)現(xiàn)幾何背景，使得數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形，從而化抽象為直觀，化復(fù)雜為簡單，有利于教學(xué)難點(diǎn)的展開。

三、借助幾何的“形”可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生探索解決問題的思路

一位教師在“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”的教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程：讓學(xué)生寫出自己學(xué)號的所有因數(shù)，并交流匯報(bào)，最后提問發(fā)現(xiàn)了什么？按照因數(shù)的個數(shù)分類，并板書。有一個因數(shù)：1。有兩個因數(shù)2、3、5、7等等，有三個或三個以上因數(shù)：4、6、8、9等等，最后讓學(xué)生歸納并揭示質(zhì)數(shù)的概念，看似很順利的完成了教學(xué)計(jì)劃，但實(shí)際上學(xué)生對于質(zhì)數(shù)的概念還是很模糊不清的。

對于抽象的數(shù)學(xué)概念，如果是從“數(shù)”到“數(shù)”去揭示其含義，學(xué)生缺少知識的構(gòu)建過程，難以實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念清晰的闡述，并得到有力支撐。這樣的話，學(xué)生對于新的知識就會很快遺忘。

針對這樣的情況，我們可設(shè)計(jì)一個新的教學(xué)計(jì)劃，并突出“形”的重要性，“以形助數(shù)”的基礎(chǔ)上促使“以形解數(shù)”，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀能力的提升。在教學(xué)過程中，我們可以引入學(xué)生們喜歡玩的拼圖游戲，老師給每小組的學(xué)生準(zhǔn)備了若干的小方塊，用這些小方塊拼出長方形（正方形也是長方形）?？纯茨慕M的設(shè)計(jì)方案最多，最后由每組的小組長匯報(bào)情況：

第一組：4=1×4=2×2 第二組：6=1×6=2×3 第三組：13=1×13

第四組：16=1×16=2×8=4×4 第五組：24=1×24=2×12=3×8=4×6

第三組只有一種設(shè)計(jì)方案，而第五組最多，有四種設(shè)計(jì)方案，啟發(fā)學(xué)生思考這一現(xiàn)象，方案的多少和什么有關(guān)系呢？引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)往下思考，通過拼方塊的游戲過程，讓學(xué)生體驗(yàn)了“形”的教學(xué)設(shè)計(jì)，并很快就能發(fā)現(xiàn)因數(shù)的個數(shù)是影響設(shè)計(jì)方案的關(guān)鍵。由此比較歸納因數(shù)個數(shù)的情況，順利引出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，最后特別指出1的因數(shù)只有1本身，所以1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，使得學(xué)生對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念經(jīng)歷了有“形”（拼長方形）到抽象（得出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念）的這樣一個過程，學(xué)生對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念不會停留在抽象的文字?jǐn)⑹錾?，而是更直觀呈現(xiàn)出動態(tài)的長方形設(shè)計(jì)方案，學(xué)生的思維也完成了由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，再由“數(shù)”及“形”的動態(tài)變化。對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)概念的理解更加深入，更加清晰。

“以形助數(shù)”直觀的實(shí)現(xiàn)“由數(shù)至形”的轉(zhuǎn)化，從而為解決數(shù)學(xué)問題提供了新的思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟需要經(jīng)歷一個不斷深入認(rèn)識，不斷加深理解的過程，在平時教學(xué)過程中，必須正確認(rèn)識、有效利用數(shù)形結(jié)合思想來優(yōu)化課堂教學(xué)，必須把“數(shù)”和“形”有機(jī)結(jié)合起來，通過對“形”的操作、觀察形成直觀認(rèn)識后，還需要及時引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)靜態(tài)思維――形象思維――抽象思維的轉(zhuǎn)化和過渡，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀的數(shù)學(xué)問題，然后加以解決，也只有這樣，才能使得學(xué)生的抽象思維和直觀思維有效提升。在數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題的成功，這也是非常關(guān)鍵的，將有助于學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決數(shù)學(xué)問題，靈活地思考數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

篇(4)

    1、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,一般要先找出一兩名學(xué)生解答,用已有的知識又無法解答的問題,創(chuàng)設(shè)認(rèn)識上的“沖突”,激發(fā)求知欲望。如教學(xué)“商不變的性質(zhì)”先通過口算得到如下等式:6÷3=2;60÷30=2;600÷300=2;6000÷3000=2然后提問:這4道題的被除數(shù)和除數(shù)都不同,為什么除得的商都是2?這時,學(xué)生心求通而未得,口欲言而不能,思維處于積極狀態(tài)。在這種情況下進(jìn)入新課學(xué)習(xí),就會事半功倍。

    在新授過程中,我們要注意不斷設(shè)置學(xué)生認(rèn)知過程中的“沖突”。如教學(xué)“小數(shù)除以小數(shù)”出示例題后,引導(dǎo)學(xué)生與小數(shù)除以整數(shù)的小數(shù)除法比較,找出不同的地方<除數(shù)是小數(shù)>,然后啟發(fā)學(xué)生思考:“怎樣使除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)?去掉除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后,要使商不變,被除法應(yīng)該怎樣?在學(xué)生掌握小數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算法則的基礎(chǔ)上,結(jié)合新的例題再討論:被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少時怎么辦?整數(shù)除以整數(shù),被除數(shù)又小于除數(shù)的除法怎么算?學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)問題,探求新知,保持積極主動地學(xué)習(xí)狀態(tài)。

    2、讓學(xué)生參與獲取新知識。

    在教學(xué)過程中要注意組織學(xué)生積極參與教學(xué)活動,學(xué)生借助教材親自去探究,主動地發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識新的知識。如教學(xué)“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”時,可先讓學(xué)生分別寫出1-12各個數(shù)的因數(shù):1的因數(shù)有{1   }2的因數(shù)有{1、2  }……

    12的因數(shù)有{1、2、3、4、6、12}讓學(xué)生根據(jù)上述各個數(shù)的因數(shù)的個數(shù),把它們分成三部分:①有一個因數(shù)的數(shù):1;②有兩個因數(shù)的數(shù):2、3、5、7、11;③有三個或三個以上的因數(shù)的數(shù):4、6、8、9、10、11、12. 接著引導(dǎo)學(xué)生研究各部分?jǐn)?shù)的因數(shù)的特征:①2、3、5、7、11這幾個數(shù)只有兩個因數(shù),其中的一個因數(shù)都是1,另一個就是那個數(shù)的本身,從而概括出質(zhì)數(shù)的概念;②4、6、8、9、10、12,這幾個數(shù)有三個或三個以上的因數(shù),除了1和它們本身兩個因數(shù)外,還有別的因數(shù),從而概括合數(shù)的意義;③1只有一個因數(shù)。告訴學(xué)生,人們規(guī)定1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。然后啟發(fā)學(xué)生從自然數(shù)有無限個,推導(dǎo)出質(zhì)數(shù)和合數(shù)也有無限個,得到:自然數(shù):自然數(shù)的單位1質(zhì)數(shù)合數(shù)最后出示一組數(shù),讓學(xué)生判別哪些是質(zhì)數(shù)并說明其理由。

篇(5)

關(guān)鍵詞：舉例法；學(xué)數(shù)學(xué)

許多小學(xué)數(shù)學(xué)教師都有這種感覺：課堂教學(xué)中，有些知識雖經(jīng)老師反復(fù)講解和多次重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，但學(xué)生在作業(yè)或測試時，還是屢屢出現(xiàn)錯誤，學(xué)生學(xué)得累，老師教得苦。面對這種狀況，筆者進(jìn)行了認(rèn)真反思，采取改老師一味講授，變讓學(xué)生運(yùn)用具體的實(shí)例的方法，收到了良好的教學(xué)效果。

一、用舉例法，輕松理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念，具有高度的抽象性和系統(tǒng)性，學(xué)生難以理解。教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一些具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生從這些看得見的數(shù)據(jù)中來理解概念特征和本質(zhì)屬性。例如，學(xué)完質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義后，老師讓學(xué)生說出你知道的質(zhì)數(shù)和合數(shù)有哪些？有學(xué)生說：質(zhì)數(shù)有1、3、5、7、9……；合數(shù)有2、4、6、8、10……顯然，該生把質(zhì)數(shù)與奇數(shù)、合數(shù)與偶數(shù)相混了。老師讓學(xué)生把這些數(shù)的因數(shù)，寫出來，并結(jié)合質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義進(jìn)行分析，讓學(xué)生明白，判斷一個數(shù)是否質(zhì)數(shù)，與該數(shù)的因數(shù)的個數(shù)有關(guān)。通過對具體數(shù)的分析，讓學(xué)生徹底理解了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。以后當(dāng)問到質(zhì)數(shù)的意義時，大部分學(xué)生都能通過具體的數(shù)，先找出這些數(shù)的因數(shù)個數(shù)，再判斷是否為質(zhì)數(shù)，從而說出質(zhì)數(shù)概念。

二、用舉例法，輕松掌握運(yùn)算律

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，許多法則、公式和定律是用不完全歸納法揭示的，即按照從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，通過對特例的觀察、分析、實(shí)驗(yàn)，從而歸納出一般性結(jié)論。當(dāng)定律法則揭示出來以后，必須進(jìn)行舉例運(yùn)用，在舉例運(yùn)用的過程中，讓學(xué)生再一次認(rèn)識定律和法則的含義、特征，所以揭示出運(yùn)算律后，一定要讓學(xué)生用具體的數(shù)字例子來說明運(yùn)算律的含義并說明其運(yùn)用的價值。如：揭示出乘法分配律后，學(xué)生就舉出了相應(yīng)的例子來說明運(yùn)算律的運(yùn)用，有兩個學(xué)生分別舉出了以下的例子：①32×（18+12）=32×18+32×12和②25×（4+8）=25×4+25×8，對比以上例子，可以看出：例子①只是體現(xiàn)了對乘法分配律的運(yùn)用，但沒使計(jì)算簡便，而例子②不但體現(xiàn)了乘法分配律的運(yùn)用，而且體現(xiàn)了運(yùn)用乘法分配律后，計(jì)算更簡便了，通過交流與對比學(xué)生舉出的不同例子，引導(dǎo)學(xué)生分析比較，很快就理解了運(yùn)算律的含義及其用法，還培養(yǎng)了學(xué)生的簡算意識。當(dāng)學(xué)生掌握了簡算的價值后，他們的積極性更高了，都爭先恐后想向同學(xué)們展示自己的例子，這種高漲的學(xué)習(xí)熱情，難道不比老師出題，學(xué)生練習(xí)來得有效嗎？

三、用舉例法，輕松分析數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以數(shù)量關(guān)系來表示這種聯(lián)系，它能為學(xué)生解決同類數(shù)學(xué)問題指明方向，提供基本方法，形成一種策略，是一種有價值的解決問題的模式。但現(xiàn)行課堂上發(fā)現(xiàn)缺乏在現(xiàn)實(shí)情境中對數(shù)量關(guān)系的抽象和概括，導(dǎo)致大部分學(xué)生對數(shù)量的含義不明白，對數(shù)量間關(guān)系的認(rèn)知更是模糊不清。因此，筆者在備有關(guān)數(shù)量關(guān)系的課時，課前先布置學(xué)生參與一些活動，讓學(xué)生先有生活體驗(yàn)，再走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)數(shù)量，探究數(shù)量之間的關(guān)系。如：學(xué)習(xí)路程、速度和時間三者的含義及其它們之間的關(guān)系時，課前布置學(xué)生，先向家長了解有關(guān)行車速度的含義，最好能結(jié)合一次出行過程，完整介紹速度與時間、路程的關(guān)系，這樣讓學(xué)生能帶著自己的出行經(jīng)歷到課堂上與同學(xué)交流親身體驗(yàn)到的數(shù)學(xué)知識。有個學(xué)生在課堂上交流了這樣的例子：上個周末，爸爸開車帶我到溫泉游玩，爸爸說以每小時80千米的速度前進(jìn)，大約用了2個小時的時間到達(dá)了目的地，爸爸讓我算出從家到溫泉的路程大約是多少？我很快就口算80×2=160千米的路程。學(xué)生能流利地介紹整個行車過程，已經(jīng)初步理解和感受到了速度、時間和路程的意義了，而后很輕松就能用速度乘時間求出路程來。有個學(xué)生舉出了不同的例子：從我家到學(xué)校大約有900米的路程，走路大約要花15分鐘的時間，可算出每分鐘行走的路程（速度）是900÷15=60米。這兩位學(xué)生用自己的親身經(jīng)歷體會了有關(guān)速度、時間和路程三者之間的關(guān)系，而且還悟出了求速度的方法。這樣學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)即輕松又有效，誰還會害怕用數(shù)量關(guān)系分析和解決問題呢？

四、用舉例法，輕松學(xué)習(xí)代數(shù)知識

篇(6)

一、改變問題的角度

如今在課堂的教學(xué)中，運(yùn)用的方法頗多，但是要講授一個新的問題，在孩子們難以理解新問題的時候，改變問題的角度可以讓孩子們興趣百倍。在教“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”的時候，讓孩子們用4個、5個、10個大小一樣的小正方形組合成一個長方形，組合成的長方形能有幾種？然后拋出問題的：“是不是給的正方形的個數(shù)越多，拼出的長方形的個數(shù)也越多呢？”孩子們一聽問題。都躍躍欲試，趕緊自己拿起正方形做實(shí)驗(yàn)。這時候孩子們自己會發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：當(dāng)正方形的個數(shù)是2、3、5、7……時，只能拼成一個長方形；當(dāng)正方形的個數(shù)是4、6、8、9、12……時，拼出的長方形不止一個。這個時候老師再引出這堂課的主題：質(zhì)數(shù)和合數(shù)，像上面只能拼出一個長方形的個數(shù)2、3、5、7叫做質(zhì)數(shù)，能拼出不止一個正方形的個數(shù)的數(shù)4、6、8叫做合數(shù)。這樣子讓孩子們自己動手找規(guī)律，他們會更有興趣地去學(xué)習(xí)新的知識，而且記憶這些概念和規(guī)律會更深刻，這樣子學(xué)習(xí)要比老師強(qiáng)力灌輸數(shù)學(xué)概念要好很多。

二、愉快地學(xué)習(xí)

教育學(xué)家公認(rèn)課堂的教學(xué)除了教授知識外還要師生情感對接。情感教學(xué)在課堂中的作用很重要，因?yàn)楹⒆觽內(nèi)绻茉谳p松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境中學(xué)習(xí)，既可以消除他們的緊張情緒又能控制他們的思維，解除他們的疲勞感，讓孩子們始終保持旺盛的學(xué)習(xí)勁頭，這樣他們的內(nèi)心世界也會很敞亮，能夠促進(jìn)他們思維記憶力、想象力的發(fā)展。

三、自主地探索

篇(7)

在以往的教學(xué)中，教師一般從“整除”的概念出發(fā)，先引出因數(shù)和倍數(shù)這兩個最基本的概念，然后再進(jìn)一步衍生出各個下位概念。

沿著這樣的思路，教師在教學(xué)中往往表現(xiàn)出以下方面的問題。

第一，情境引入問題。由于這個單元知識是對自然數(shù)內(nèi)部規(guī)律的探索，它與現(xiàn)實(shí)生活中的情境往往并不能建立直接的聯(lián)系。如果一味地從一個個現(xiàn)實(shí)生活情境引入，那么就很容易造成探索研究的思路斷裂。有的教師并沒有認(rèn)識到這樣的問題存在，往往冥思若想、精心構(gòu)思如何為學(xué)生的規(guī)律發(fā)現(xiàn)進(jìn)行鋪墊性的設(shè)計(jì)，期望學(xué)生通過這些鋪墊就能水到渠成地發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

如“能被3整除的數(shù)的特征”的教學(xué)引入，教師設(shè)計(jì)了一個抽骰子組數(shù)的游戲：投3次骰子，隨機(jī)得到三個數(shù)字，用這三個數(shù)字組成一個三位數(shù)，將之記錄在下表中，然后觀察那些能被3整除的數(shù)的特征，你發(fā)現(xiàn)什么？

由于三個數(shù)字可能組成六個不同排列的三位數(shù)，如1、2、3三個數(shù)字可以組成的三位數(shù)有123、132、213、231、312、321，這些數(shù)能被3整除；又如1、2、4三個數(shù)字組成的三位數(shù)有124、142、214、241、412、421，這些數(shù)不能被3整除。在這里，六個不同排列的三位數(shù)就成為了學(xué)生發(fā)現(xiàn)能被3整除的數(shù)的特征的一個鋪墊。有了這個鋪墊，學(xué)生就能很容易地發(fā)現(xiàn)能被3整除的數(shù)的特征：與數(shù)字的排列位置沒有關(guān)系，而是與數(shù)位上數(shù)的和有關(guān)。

然而，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，大部分學(xué)生不知道其中的奧妙所在，出現(xiàn)很多問題：有的學(xué)生通過投骰子雖然得到了三個數(shù)字，但不知道怎么填寫這張表，就在一個空格內(nèi)填寫一個數(shù)字；有的學(xué)生雖然知道三個數(shù)字可以組成六個三位數(shù)，但由于通過投骰子確定的三個數(shù)字具有隨機(jī)性，到活動停止時還得不到能被3整除的數(shù)；有的學(xué)生雖然比較順利地完成了表格的填寫任務(wù)，但表格中能被3整除的數(shù)只有6個，很難一下就尋找出其中的規(guī)律所在……凡此種種表現(xiàn)，反映了大部分學(xué)生顯然不領(lǐng)老師的情，他們不太情愿進(jìn)入老師設(shè)計(jì)的“圈套”。當(dāng)然，總是有個別的學(xué)生會很配合老師，他們既完成了表格的填寫，又“發(fā)現(xiàn)”了能被3整除的數(shù)的特征。

第二，演繹概念的問題。在這個單元知識的學(xué)習(xí)中，由于概念比較多且比較集中，大大小小的概念20個左右，要讓學(xué)生記住這些名詞術(shù)語且不發(fā)生混淆還真是一個不容易的事情。再者，這些概念的抽象程度又比較高，給學(xué)生的學(xué)習(xí)也帶來了一定的難度。如質(zhì)因數(shù)的概念，它是質(zhì)數(shù)、因數(shù)、合數(shù)等概念的綜合。不僅如此，教師往往在教學(xué)中不注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，而是用演繹概念的方式直接呈現(xiàn)概念，并要求學(xué)生對這些抽象的概念進(jìn)行記憶、辨析強(qiáng)化和鞏固運(yùn)用。以“公倍數(shù)”的教學(xué)為例，一般的教學(xué)過程是：先創(chuàng)設(shè)一個具體情境，讓學(xué)生通過動手操作、觀察交流，在活動的基礎(chǔ)上得出結(jié)論——呈現(xiàn)“公倍數(shù)”的概念，然后通過進(jìn)一步觀察得到“最小公倍數(shù)”的概念，最后讓學(xué)生在記憶概念的基礎(chǔ)上，通過一一列舉的方法尋找兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。從整個教學(xué)過程來看，盡管有學(xué)生的動手操作、對比觀察等環(huán)節(jié)，又溝通了新舊知識的聯(lián)系，也揭示了新的概念，還有新概念的鞏固與運(yùn)用。但是，學(xué)生其實(shí)并未經(jīng)歷在大量事實(shí)材料基礎(chǔ)上的觀察比較、歸納概括和提煉抽象的概念形成過程。因此，用這樣演繹方式獲得的概念，對于學(xué)生來說不僅是外在的，而且還是抽象和不容易理解的。于是，學(xué)生對于這些概念的學(xué)習(xí)就好比是雪上加霜一般。在這種多重困難的層層重壓下，學(xué)生對于“因數(shù)與倍數(shù)”知識的學(xué)習(xí)往往覺得不堪重負(fù)。

上述問題的出現(xiàn)其實(shí)并非偶然，原因在于這個單元的知識點(diǎn)比較多，主要有以下幾個知識點(diǎn)：因數(shù)與倍數(shù)，求一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)的方法；2、5、3的倍數(shù)的特點(diǎn)；偶數(shù)、奇數(shù)的認(rèn)識；質(zhì)數(shù)、合數(shù)的認(rèn)識；公因數(shù)與最大公因數(shù)的認(rèn)識；公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的認(rèn)識；求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。當(dāng)教師的視野被局限在這些知識點(diǎn)內(nèi)，知識之間內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)系，以及知識中內(nèi)含豐富的育人資源往往就會被遮蔽。當(dāng)我們的視角從一個個的知識點(diǎn)中跳出來，整體地分析和研究整個單元知識的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系，我們就會發(fā)現(xiàn)，這一單元所有的知識點(diǎn)實(shí)際上都是對自然數(shù)范圍內(nèi)的非零自然數(shù)的特征和關(guān)系而展開的研究，它們具有如下的結(jié)構(gòu)關(guān)系：就知識之間的框架結(jié)構(gòu)關(guān)系而言，是從本單元最上位的兩個概念“因數(shù)”和“倍數(shù)”出發(fā)分別開展各自內(nèi)部的特征研究和關(guān)系研究。從自然數(shù)的“倍數(shù)”出發(fā)，研究衍生出兩個分支：一個分支是對一個自然數(shù)（如2、5和3）的倍數(shù)進(jìn)行特征研究，在研究2的倍數(shù)特征的基礎(chǔ)上又得到奇數(shù)和偶數(shù)的特征；另一個分支是對兩個甚至兩個以上自然數(shù)的倍數(shù)進(jìn)行關(guān)系研究，形成公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。從自然數(shù)的“因數(shù)”出發(fā)，同樣也可以研究衍生出兩個分支：一個分支是對一個自然數(shù)的因數(shù)進(jìn)行特征研究，形成質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念；另一個分支是對兩個甚至兩個以上自然數(shù)的因數(shù)進(jìn)行關(guān)系研究，形成公因數(shù)、最大公因數(shù)和互質(zhì)數(shù)的概念。這也正是這個單元知識用“因數(shù)和倍數(shù)”進(jìn)行命名比較合理的原因之所在。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)知識與因數(shù)知識之間具有類同的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

就研究方法結(jié)構(gòu)而言，基本上可以從研究目的、研究路徑上進(jìn)行提煉。一個數(shù)的倍數(shù)的特征如2、5和3的倍數(shù)特征，以及一個數(shù)的因數(shù)的特征如質(zhì)數(shù)和合數(shù)的學(xué)習(xí)方法是：為了發(fā)現(xiàn)數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)特征，要先確定研究的小范圍和羅列研究材料，從特殊情況進(jìn)行偶然發(fā)現(xiàn)，用列舉法開展研究，然后擴(kuò)大范圍進(jìn)行一般的驗(yàn)證，最后獲得結(jié)論。公因數(shù)教學(xué)和公倍數(shù)教學(xué)的學(xué)習(xí)方法是：為了發(fā)現(xiàn)數(shù)之間的關(guān)系，先從兩個數(shù)的一般情況出發(fā)研究，用列舉法作為工具，然后研究兩個數(shù)的特殊情況，最后再把兩個數(shù)的關(guān)系研究拓展到三個數(shù)的關(guān)系研究。因此，這樣的學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)可以概括提煉為：研究目的、研究路徑（研究過程是一般到特殊或特殊到一般）、研究材料、研究工具。

以3的倍數(shù)的特征認(rèn)識的教學(xué)為例，為了研究3的倍數(shù)特征，研究的路徑可以從特殊情況研究拓展到一般情況來展開研究，既確定一個相對較小的范圍進(jìn)行規(guī)律發(fā)現(xiàn)，然后再研究這個結(jié)論在擴(kuò)大的范圍內(nèi)是否都能成立。如可以利用小組4人合作開展研究的有利條件，每個人研究一個范圍，4個人連續(xù)的小范圍就構(gòu)成一個相對較大的研究范圍。如第一人從50～100，第二人從100～150，第三人從150～200，第四人從200～250，4個人合起來的研究范圍就是50～250之間。確定了研究范圍之后，就可以有序地羅列這個范圍的3的倍數(shù)。之所以要有順序地排列，是因?yàn)榕帕杏幸?guī)律有利于觀察和發(fā)現(xiàn)。如果排列雜亂無章，即使有發(fā)現(xiàn)也可能是出于偶然。

“因數(shù)和倍數(shù)”單元不僅具有類同的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系和學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，還具有基本相同的體現(xiàn)綜合性和靈活性教學(xué)過程結(jié)構(gòu)。就2、5和3的倍數(shù)特征的教學(xué)而言，研究獲得的是一般的結(jié)論，所以教學(xué)過程還要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從偶然現(xiàn)象或特殊問題出發(fā)進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，然后作出是否普遍存在的猜想，最后在舉例驗(yàn)證的基礎(chǔ)上獲得一般結(jié)論的過程。因此，2、5和3的倍數(shù)特征的教學(xué)展開邏輯可以提煉為“發(fā)現(xiàn)和猜想——舉例驗(yàn)證——?dú)w納概括結(jié)論”的過程結(jié)構(gòu)。就質(zhì)數(shù)與合數(shù)的教學(xué)而言，是在對一個因數(shù)進(jìn)行特征研究的基礎(chǔ)上獲得一般結(jié)論，所以其教學(xué)展開邏輯也需要經(jīng)歷同樣過程。不僅如此，還要在教學(xué)中幫助學(xué)生建立質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。由于這些概念是前人經(jīng)歷觀察比較、歸納概括和提煉抽象的過程而給出的概念定義，它是高度概括和抽象的結(jié)果，所以教學(xué)過程要引導(dǎo)學(xué)生像前人那樣經(jīng)歷觀察比較、歸納概括和提煉抽象概念的形成過程。因此，質(zhì)數(shù)與合數(shù)的教學(xué)展開邏輯是在“發(fā)現(xiàn)和猜想——舉例驗(yàn)證——?dú)w納概括結(jié)論”的基礎(chǔ)上，還要經(jīng)歷“材料感知——比較分析——?dú)w納概括和提煉抽象”的概念形成過程，這是一個規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過程與概念形成的過程之間交織與復(fù)合的推進(jìn)過程。就“公因數(shù)”和“公倍數(shù)”的教學(xué)而言，研究的思路是先研究兩個數(shù)之間的關(guān)系，然后再拓展研究三個數(shù)之間的關(guān)系。因此，基本的教學(xué)展開邏輯可以提煉概括為“關(guān)系研究（研究2個數(shù)的關(guān)系，分一般情況和特殊情況進(jìn)行研究）——概念形成——拓展延伸（3個數(shù)）”的過程結(jié)構(gòu)。不僅如此，“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”的教學(xué)過程不僅內(nèi)含了“發(fā)現(xiàn)和猜想——舉例驗(yàn)證——概括結(jié)論”的研究過程，而且還內(nèi)含了“材料感知——比較分析——?dú)w納概括和提煉抽象”的概念形成過程。從這個意義上可以說，“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”的教學(xué)過程更體現(xiàn)了綜合性與靈活性的結(jié)構(gòu)特征。

從上述的框架結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)和教學(xué)過程結(jié)構(gòu)的分析中可以看出，這些知識之間是環(huán)環(huán)相扣的，每一個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)都必須建立在學(xué)生已有知識的的基礎(chǔ)上，以這種結(jié)構(gòu)狀的方式呈現(xiàn)規(guī)律探索研究的不斷推進(jìn)過程。較之割裂的“點(diǎn)狀”知識的學(xué)習(xí)，具有更強(qiáng)的組織和遷移能力，唯有通過結(jié)構(gòu)的教學(xué)，才有可能使學(xué)生頭腦中形成諸多有差異又能相通的結(jié)構(gòu)群和結(jié)構(gòu)思維方法，才有可能使學(xué)生在身處陌生和復(fù)雜的新環(huán)境中能用綜合的眼光去發(fā)現(xiàn)和解決問題。因此，我們可以采用長程兩段教學(xué)策略來整體規(guī)劃整個單元的教學(xué)行為。