序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來(lái)了七篇數(shù)學(xué)原始概念范文，愿它們成為您寫作過(guò)程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

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【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)原始概念；衍生的概念；數(shù)學(xué)抽象具有無(wú)物質(zhì)性

我們知道，數(shù)學(xué)是研究客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。而研究數(shù)學(xué)一定是從數(shù)學(xué)概念開始，然后才由概念與概念之間的聯(lián)系形成命題、定理、性質(zhì)、法則等等。在科學(xué)的許多分支中，數(shù)學(xué)可能要算是一個(gè)古老的學(xué)科了，它的歷史和人類的歷史幾乎是同樣久遠(yuǎn)。當(dāng)然，它最初還不過(guò)是一些數(shù)學(xué)知識(shí)的萌芽，在以萬(wàn)年為計(jì)算單位的漫長(zhǎng)時(shí)間里，緩慢地逐漸積累著。其中最古老的數(shù)學(xué)原始概念是世界各國(guó)人民世世代代在生活和生產(chǎn)中要解決的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察、歸納、抽象、概括逐步形成和不斷的完善。如分配產(chǎn)品、測(cè)量土地、修建廟宇、航海貿(mào)易、礦山開發(fā)、火炮制造等等，不斷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造各個(gè)數(shù)學(xué)分支。而知識(shí)不能遺傳只能通過(guò)學(xué)習(xí)獲得，我們的學(xué)生作為數(shù)學(xué)知識(shí)的繼承者，不可能重新嘗試前人幾千年來(lái)不斷的探索和逐步完善的過(guò)程，許多數(shù)學(xué)概念的原始生成過(guò)程隨著時(shí)間的流逝已經(jīng)不可復(fù)原或隨數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸喪失了它本來(lái)的面貌。這就需要數(shù)學(xué)教師與時(shí)俱進(jìn)創(chuàng)造符合教材知識(shí)的背景，探索數(shù)學(xué)概念和生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，通過(guò)合理的想象和合情的推理，盡可能的在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中自圓其說(shuō)，才能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是自然的合理的，有人情味的。把教科書上的學(xué)術(shù)形態(tài)變成課堂上的教育形態(tài)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。在知識(shí)爆炸的現(xiàn)代，數(shù)學(xué)知識(shí)不僅深入到自然科學(xué)也深入到社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解應(yīng)建立在一個(gè)比較廣闊的平臺(tái)。讓學(xué)生穿越漫長(zhǎng)的時(shí)空隧道進(jìn)行觀察、歸納、類比、抽象、概括這些數(shù)學(xué)原始概念以及由這些原始概念衍生出來(lái)的另外一些數(shù)學(xué)概念。經(jīng)常涉及的原始數(shù)學(xué)概念有：自然數(shù)、代數(shù)式、點(diǎn)、線、面、相交、平行、相等、不等、加、減、集合、映射等?，F(xiàn)在戲說(shuō)這些概念的形成及其衍生的概念，如有不當(dāng)，請(qǐng)批評(píng)指正。

首先，解釋一下幾個(gè)有關(guān)詞語(yǔ)。觀察：就是人們通過(guò)感官，或借助于一定的科學(xué)儀器，對(duì)客觀對(duì)象在自然條件下，進(jìn)行有目的、有計(jì)劃、有步驟地考察和描述的一種方法。歸納：就是通過(guò)對(duì)某類事物中的若干特殊情況的分析得出一般結(jié)論的思維方法。我們所說(shuō)的歸納是指不完全歸納，不完全歸納盡管帶有猜想、想象的成分，所得的結(jié)論也不一定真實(shí)可靠，但卻是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、提出猜想的基本方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)有著不可估量的作用。與歸納這個(gè)詞有關(guān)的還有完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法，雖然同有歸納二字，但它們與不完全歸納有著本質(zhì)的區(qū)別，不完全歸納是一般性的思維方法，而完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法僅適用于數(shù)學(xué)。類比：就是根據(jù)兩類事物存在的一些相似或相同的屬性，猜測(cè)其他的一些屬性也可能相似或相同的思維方法。抽象：就是在頭腦中把同類事物的共同的本質(zhì)特征抽取出來(lái)，并舍棄個(gè)別的非本質(zhì)特性的思維過(guò)程。例如，我們從兩個(gè)蘋果、兩棵樹、兩個(gè)人中得出2這個(gè)量，這個(gè)2在數(shù)學(xué)中不再針對(duì)具體的兩個(gè)東西，2+3=5，也不停留在2個(gè)蘋果加3個(gè)蘋果等于5個(gè)蘋果這個(gè)具體的事物上。在數(shù)學(xué)的抽象中首先保留了量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切，數(shù)學(xué)本身幾乎完全處于抽象概念和它們的相互關(guān)系之中，任何一個(gè)數(shù)學(xué)推理和計(jì)算都是在抽象對(duì)象之間展開的。由于所說(shuō)的抽象就是由特殊上升到了一般，數(shù)學(xué)研究也就具有普遍意義，它們所反映的不是某一特定事物或現(xiàn)象的量或形的特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量或形方面的共同性質(zhì)。數(shù)學(xué)抽象具有無(wú)物質(zhì)性。概括：就是把同類事物的共同屬性聯(lián)結(jié)起來(lái)，或把個(gè)別事物的某些屬性推廣到同類事物中去的思維方法。概括可分為經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括。所謂經(jīng)驗(yàn)概括就是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍認(rèn)識(shí)。而理論概括則是指在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上由對(duì)種的特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)種所屬的屬的特性的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

我們?cè)賮?lái)看一下漫長(zhǎng)歲月中所形成的一些數(shù)學(xué)概念：

（1）自然數(shù)：兩個(gè)人、兩個(gè)蘋果、兩只羊等，除去他們的物理性質(zhì)差別外，從數(shù)量上看是相同的，經(jīng)過(guò)大量的觀察和歸納，我們把這樣一個(gè)數(shù)量歸納為2，以后只要與這樣一樣的事物統(tǒng)統(tǒng)概括我2。（2）加法：先有2個(gè)蘋果，又得到3個(gè)蘋果，共有5個(gè)蘋果。記作2+3=5，當(dāng)然，+號(hào)與=號(hào)是近代才發(fā)明使用的，由若干個(gè)相同的量相加，出現(xiàn)了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不過(guò)是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。（3）減法：從總量中減少一部分，就產(chǎn)生了減法，而除法只不過(guò)是等量減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算而已。如：6個(gè)東西每次減少2個(gè)，經(jīng)過(guò)幾次才能減完，因?yàn)椋?-2=4，4-2=2，2-2=0，經(jīng)過(guò)了三次，故簡(jiǎn)化為：6/2=3。（4）分?jǐn)?shù)：把一堆東西平均分成幾份就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)?；蛘J(rèn)為以一條線段去公度另一條線段產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，我認(rèn)為在交通不便、信息閉塞的古代，不同的地域產(chǎn)生分?jǐn)?shù)有不同的方法。（5）無(wú)理數(shù)：古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的，經(jīng)過(guò)曲折漫長(zhǎng)的過(guò)程產(chǎn)生了無(wú)理數(shù)。（6）負(fù)數(shù):以某一量為標(biāo)準(zhǔn)，比該量多時(shí)記作+，比該量少時(shí)記作-，于是就產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。至于后來(lái)又產(chǎn)生了復(fù)數(shù)，它們統(tǒng)統(tǒng)是由自然數(shù)衍生而來(lái)的。（7）代數(shù)式：到了十六世紀(jì)，伴隨著文藝復(fù)興的，科學(xué)革命的時(shí)代也開始了。和天文學(xué)同時(shí)，西方近代數(shù)學(xué)也隨之興起。十六世紀(jì)西方數(shù)學(xué)的最大成就，乃是符號(hào)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)立。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在《分析引論術(shù)》中，用輔音字母表示已知數(shù)，用元音字母表示未知數(shù)，并開始用這些字母間的計(jì)算代表具體數(shù)值間的計(jì)算。而這正是算術(shù)和代數(shù)之間的顯著區(qū)別。用字母表示數(shù)，這在今天學(xué)過(guò)代數(shù)的人看來(lái)是一件稀松平常的事情，如果我們追溯代數(shù)學(xué)的歷史，就不能不感到驚訝，用字母表示數(shù)的歷史竟是如此漫長(zhǎng)。美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M.克萊因在批判“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”時(shí)曾指出：“從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達(dá)和多笛卡爾之前，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家能意識(shí)到字母可用來(lái)代表一類數(shù)?！庇捎诓恢烙米帜副硎緮?shù)，數(shù)列通項(xiàng)概念在修辭代數(shù)里是根本不存在的，所有數(shù)列求和的結(jié)果只能是針對(duì)具體的若干項(xiàng)。當(dāng)有y個(gè)字母x相加時(shí)，就產(chǎn)生了單項(xiàng)式xy。即：x+x+……+x=xy。當(dāng)然，x*x=x2是屬于人為的規(guī)定表示方法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。有了單項(xiàng)式、加法、減法就能衍生出多項(xiàng)式。而分式是由分?jǐn)?shù)類比而產(chǎn)生的。方程的產(chǎn)生。（8）在中國(guó)東漢初年數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》和古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖及古印度數(shù)學(xué)家波羅摩笈陀的著作中對(duì)解方程都有論述。中國(guó)古代解決一次聯(lián)立方程(線性方程組)問(wèn)題，用算籌表示一次聯(lián)立方程組，類似于由方程組各系數(shù)構(gòu)成的矩陣，其解法和現(xiàn)代中學(xué)代數(shù)中的消元法基本相同。但古希臘和古印度的解法遠(yuǎn)不如中國(guó)的完整。直到十六世紀(jì)，歐洲才有了加減消元法。（9）有了代數(shù)式、等號(hào)、大于號(hào)、小于號(hào)等符號(hào)以后，方程、函數(shù)、不等式的研究獲得了飛速發(fā)展。當(dāng)n個(gè)x相乘的結(jié)果為a時(shí)，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后來(lái)對(duì)a、n的細(xì)化討論，就另當(dāng)別論了。（10）法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596―1650）是解析幾何的創(chuàng)始人之一，他的中心思想是使代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)。在《幾何學(xué)》中引入了坐標(biāo)方法和用方程表示曲線的思想。最初所使用的坐標(biāo)系中，兩個(gè)坐標(biāo)軸的夾角不要求一定是直角，而且軸并沒有明顯的出現(xiàn)。至于“坐標(biāo)”，“坐標(biāo)系”，“橫坐標(biāo)”，“縱坐標(biāo)”等名詞，也是后來(lái)人們逐漸使用的。雖然笛卡兒當(dāng)初的坐標(biāo)系還不夠完善，但是笛卡兒當(dāng)初邁出的第一步具有決定意義，它促進(jìn)了微積分的創(chuàng)立。從此數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的新時(shí)期。（11）由于微積分學(xué)的創(chuàng)立而產(chǎn)生的一些分支:微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何學(xué)、變分學(xué)等等的進(jìn)一步發(fā)展，就成了十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的最重要內(nèi)容，這些內(nèi)容構(gòu)成了今天數(shù)學(xué)各分支學(xué)科中比較重要的一個(gè)學(xué)科――數(shù)學(xué)分析。（12）函數(shù)：函數(shù)的概念，從一開始，就與動(dòng)點(diǎn)的軌跡與解析幾何的產(chǎn)生是分不開的。眾所周知，當(dāng)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)行描述時(shí)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相互依賴而同時(shí)發(fā)生各自變化，很自然可以使人們產(chǎn)生變量、因變量的思想，從而也可以很自然地導(dǎo)入函數(shù)的概念。至于函數(shù)的概念不斷發(fā)展，反映了近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展，同時(shí)也與解析數(shù)學(xué)、函數(shù)論的發(fā)展相輔相成。

【參考文獻(xiàn)】

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)，知識(shí)類型，教學(xué)方式

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）06-262-01

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的特點(diǎn)，可把數(shù)學(xué)知識(shí)分成五種類型：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題（公理和定理）、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)歷史知識(shí)。下面分別對(duì)它們及其教學(xué)方式進(jìn)行闡述：

一、數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)方式

1、數(shù)學(xué)概念。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)是開始于數(shù)學(xué)概念，因此，可以說(shuō)數(shù)學(xué)概念是一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如要學(xué)習(xí)“一元二次方程”，首先必須明確“一元二次方程”這一數(shù)學(xué)概念的含義，然后才能探究它的解法及應(yīng)用。

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念通常有以下幾種情況：

（1）反映對(duì)象之間的相互關(guān)系的（2）反映對(duì)象特征的，（3）反映對(duì)象的基本元素的。

2、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方式。（1）對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，首先應(yīng)盡量讓學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，即來(lái)源于學(xué)生觀察自己所熟悉的日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中的現(xiàn)實(shí)模型，尤其對(duì)一些原始概念更應(yīng)如此，如點(diǎn)、線、面，學(xué)生只需觀察課桌的邊沿及桌面等實(shí)物，并進(jìn)行抽象，就可形成這些概念，有些概念不是直接來(lái)源于實(shí)物模型，是產(chǎn)生于相對(duì)低級(jí)的抽象概念，這就需要我們?cè)谝延械呐f概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新概念。（2）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，既要重視對(duì)概念本身的把握，也要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意承前啟后，形成一個(gè)具有層次結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。如在《四邊形》一章中，由四邊形平行四邊形矩形正方形。在教學(xué)時(shí)可自制教學(xué)模型，從運(yùn)動(dòng)的角度，由舊的概念引出新的概念，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)較為深刻的理解。

（3）多媒體也給我們數(shù)學(xué)概念的教學(xué)帶來(lái)了極大的方便，如在《常見幾何體及其分類》、立體圖形的《三視圖》教學(xué)時(shí)，利用多媒體展示模型，往往能收到較好效果。

二、數(shù)學(xué)命題及其教學(xué)方式

1、數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)命題是闡述概念具有某種性質(zhì)或概念之間具有某種關(guān)系的判斷的語(yǔ)句，數(shù)學(xué)命題分為公理和定理。公理是人們?cè)趯?shí)踐中得出的得到公認(rèn)而不需要證明就確認(rèn)其正確性的原始命題；定理是在原始命題的基礎(chǔ)上，通過(guò)邏輯推理證明其正確性的真命題，如歐幾里德《幾何原本》包括5條公理，5條公段（常統(tǒng)稱公理），119個(gè)定義，465條命題，構(gòu)成歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。

2、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)方式。初中階段所學(xué)公理少且比較淺顯，如等量加等量，其和相等，學(xué)生容易接受，在此不再贅述。

數(shù)學(xué)定理的教學(xué)不要固守“展示定理證明應(yīng)用”的老套路，而應(yīng)以問(wèn)題的形式提出，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、討論、試驗(yàn)、歸納等方式來(lái)自己探究、發(fā)現(xiàn)定理的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生探究未知的好奇心，引發(fā)他們主動(dòng)解決問(wèn)題的興趣。同時(shí)定理的學(xué)習(xí)不僅僅是定理本身，還要主動(dòng)思考定理是否存在逆定理，定理的條件是否可以刪減，并尋求相應(yīng)的實(shí)例，從各個(gè)角度去剖析定理，以達(dá)到真正理解定理的目的。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題及其教學(xué)方式

我們把以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)才能解決的問(wèn)題稱之為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題可分為純數(shù)學(xué)問(wèn)題和應(yīng)用題。數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的載體，一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸根到底要能用之于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)該以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，要賦予數(shù)學(xué)問(wèn)題合理、生動(dòng)而趣味的現(xiàn)實(shí)背景，以此激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的欲望與潛能。

問(wèn)題的探索過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生綜合多種感官，進(jìn)行直覺猜想，動(dòng)手操作，相互交流，歸納論證。

四、數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)方式

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓。初中階段常用的數(shù)學(xué)思想有：方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：特殊化、一般化、反證法、待定系數(shù)法、配方法等。

數(shù)學(xué)思想方法的獲得需要學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中反復(fù)體驗(yàn)、實(shí)踐、探究，這樣才能逐漸認(rèn)識(shí)，理解各種數(shù)學(xué)知識(shí)的用途及其使用的場(chǎng)合，最終提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。教師在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生體會(huì)到利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的奇妙之處。

五、數(shù)學(xué)史知識(shí)及其教學(xué)方式

新課改以來(lái)，數(shù)學(xué)史知識(shí)開始受到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的重視，但由于教材中數(shù)學(xué)史知識(shí)的貧乏，廣大教師認(rèn)識(shí)上的不足等多方面原因，在實(shí)際教學(xué)工作中，數(shù)學(xué)史知識(shí)沒有發(fā)揮它應(yīng)有的教育功能。

首先，數(shù)學(xué)上的歷史故事能進(jìn)入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，成為學(xué)生提取相關(guān)內(nèi)容的導(dǎo)引線，生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)故事也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。其次，給學(xué)生傳授歷史上數(shù)學(xué)家在重大發(fā)現(xiàn)的思維過(guò)程，有利于掌握數(shù)學(xué)的思維方法，從而提高教學(xué)質(zhì)量。再次，數(shù)學(xué)史知識(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新和堅(jiān)持不懈的精神品質(zhì)。在數(shù)學(xué)史的教學(xué)中，要讓學(xué)生理解故事背后所包含的深層內(nèi)涵，可采用多種形式進(jìn)行。

總之，把數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類，并根據(jù)知識(shí)類型選擇適當(dāng)、有效的教學(xué)方式，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也有利于教師充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化教學(xué)方式，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)研究[D].互聯(lián)網(wǎng)-碩士論文-道客巴巴.

篇(3)

【關(guān)鍵詞】函數(shù)教學(xué)

一、認(rèn)識(shí)函數(shù)思想,引領(lǐng)教學(xué)方向

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律,函數(shù)的思想方法就是提取問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征,用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系,并利用函數(shù)的性質(zhì)研究解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。盡管內(nèi)容不多,但函數(shù)的思想已經(jīng)有所體現(xiàn),它仍占據(jù)著重要地位。

二、理清初中函數(shù)概念,系統(tǒng)掌握初等函數(shù)知識(shí)

1、理解概念的邏輯性。數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面:一是概念的'質(zhì)',也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的'量'也就是概念的外延(概念所有對(duì)象的和)概念的外延還有大小之分,外延大的概念叫做種概念,外延小的概念叫做屬概念,一個(gè)屬概念與其他屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差,要想給某一個(gè)概念下定儀,首先應(yīng)給學(xué)生指出被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,既概念定義 = 種概念 + 屬查。

2、明確概念的層次性。一般的概念都是通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象或?qū)δ持芯唧w事物分析經(jīng)過(guò)抽象概括而導(dǎo)出的,他是一個(gè)形成過(guò)程,中學(xué)中的許多概念,是從幾個(gè)原始概念和公理出發(fā),通過(guò)一番的推理而擴(kuò)展成為一系列的定義和公里,而每一個(gè)新出現(xiàn)的概念都依賴著舊的概念來(lái)表達(dá),或是由舊概念推倒出來(lái)的。

3、掌握概念的抽象性。初中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多原始概念,都是對(duì)具體的數(shù)和形的感知而形成表象,再?gòu)谋硐蠼?jīng)過(guò)抽象概括而形成的。概念是人們對(duì)感性材料進(jìn)行抽象的產(chǎn)物,感性認(rèn)識(shí)是形成概念的基礎(chǔ)。如果學(xué)生沒有感性認(rèn)識(shí)或感性認(rèn)識(shí)不怎么完備時(shí),我們就應(yīng)該借助與實(shí)物、模型、多媒體課件、或形象的語(yǔ)言進(jìn)行較直觀的教學(xué),使學(xué)生從中獲得感性認(rèn)識(shí)。

三、繪制初等函數(shù)圖象 ,理解初等函數(shù)性質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō):"數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微"。因此要想繪制初等函數(shù)圖象,理解其性質(zhì),首先要了解"數(shù)形結(jié)合"的思想。數(shù)學(xué)中大量數(shù)的問(wèn)題后面都隱含著形的信息,圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系。我們要抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,通過(guò)形的形象、直觀揭示出來(lái),以達(dá)到形幫數(shù)的目的。

四、運(yùn)用函數(shù)同其他學(xué)科和實(shí)際的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣

函數(shù)是這樣定義的,"設(shè)在某變化過(guò)程中的兩個(gè)變量x和y,若對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一確定的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么,就把y稱為x的函數(shù) ,x是自變量,y是因變量"。

如圖1⑴中,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿路線ABCD運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)D停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DCBA路線運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A停止。若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P的速度為1厘米/秒,點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒。a秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)改變速度,點(diǎn)P的速度變?yōu)閎厘米/秒,點(diǎn)Q的速度變?yōu)閐厘米/秒。圖1第2個(gè)圖是點(diǎn)P出發(fā)x秒后APD的面積S1(平方厘米)與x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象。圖1第3個(gè)圖是點(diǎn)Q出發(fā)x秒后AQD的面積S2(平方厘米)與x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象。

2、函數(shù)與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)

例2、某化工材料銷售公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克,購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元。物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元,也不得低于30元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):單價(jià)定為70元時(shí)日均銷售60千克;單價(jià)每低1元日均多售出2千克。在銷售過(guò)程中,每天還要支出其他費(fèi)用500元(天數(shù)不足一天時(shí),按整天計(jì)算)。設(shè)銷售單價(jià)為x元,日均獲利y元。

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(65,1950)。二次函數(shù)的草圖(如圖2)所示。

觀察草圖可知,當(dāng)單價(jià)定為65元時(shí),日均獲利最多,是1950元。

⑶、當(dāng)日均獲利最多時(shí),單價(jià)為65元,日均銷售60+2×(70-65)=70千克,那么總獲利為1950×(7000÷70)=195000元

當(dāng)銷售單價(jià)最高時(shí),單價(jià)為70元日均銷售60千克,將這種化工原料全部售完需700÷60≈117天。那么總獲利為(70-30)×7000-117×500=221500元

221500>195000,且221500 - 195000 = 26500

銷售單價(jià)最高時(shí)獲總利最多,且多獲利26500。

篇(4)

關(guān)鍵詞：　構(gòu)造性數(shù)學(xué)　遞歸函數(shù)　可靠性

一，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展

構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。它的根本特征就是對(duì)可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對(duì)象或者能給出某一對(duì)象的計(jì)算方法。即當(dāng)我們把能證實(shí)“存在一個(gè)X滿足性質(zhì)A”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個(gè)證明中具體地給出滿足性質(zhì)A的一個(gè)x；或者能從此證明中得到一個(gè)機(jī)械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)A的這個(gè)x來(lái)。反之，經(jīng)典數(shù)學(xué)（非構(gòu)造性數(shù)學(xué)）中的純存在性證明被稱之為非構(gòu)造的。非構(gòu)造性證明主要是通過(guò)使用反證法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。人們一般把這種強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)稱為構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)最早起源于一種構(gòu)造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里?？档抡J(rèn)為，數(shù)學(xué)的最終真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧構(gòu)造出來(lái)。他說(shuō)：“數(shù)學(xué)必須根據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來(lái)，或者像人們所說(shuō)的那樣，把這些概念構(gòu)造出來(lái)”。又說(shuō)“數(shù)學(xué)知識(shí)是從概念的構(gòu)造得出來(lái)的理性知識(shí)。構(gòu)造一個(gè)概念，意即先天地提供出來(lái)與概念相對(duì)應(yīng)的直觀?！保ā?〕，第39頁(yè)）后來(lái)，19世紀(jì)德國(guó)的克羅內(nèi)克進(jìn)一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作。”主張自然數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對(duì)象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來(lái)，否則就不能作為數(shù)學(xué)對(duì)象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無(wú)限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設(shè)的少，故其思想在當(dāng)時(shí)并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數(shù)學(xué)家也都是倡導(dǎo)構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想，他們實(shí)際的數(shù)學(xué)工作并未嚴(yán)格地遵循自己的哲學(xué)思想。因此，現(xiàn)代意義的構(gòu)造性數(shù)學(xué)應(yīng)以布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)為開端，迄今，在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域里，由于宗旨、觀點(diǎn)和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學(xué)派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)以外，還有希爾伯特的元數(shù)學(xué)、畢曉普等人的構(gòu)造性數(shù)學(xué)以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)和希爾伯特的元數(shù)學(xué)，我國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來(lái)發(fā)展起來(lái)的畢曉普、馬爾科夫的構(gòu)造性數(shù)學(xué)作些簡(jiǎn)述。（〔2〕、〔3〕第101—109頁(yè)）

以畢曉普、邁希爾等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一個(gè)與早先直覺主義數(shù)學(xué)齊名但又不同于它的新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用普通邏輯于可編碼的對(duì)象和遞歸函數(shù)。他們所關(guān)心的不是數(shù)學(xué)的奠基問(wèn)題，而是要用構(gòu)造性方法來(lái)研究數(shù)學(xué)。他們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)看成古典數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這個(gè)分支中所討論的對(duì)象都要求是可計(jì)算的。以畢曉普的工作為例，他認(rèn)為只證明一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機(jī)械的辦法把這個(gè)對(duì)象構(gòu)造出來(lái)。他不用非直觀的概念來(lái)重建數(shù)學(xué)，而是從標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)規(guī)則和有理數(shù)出發(fā)，通過(guò)避開“理想”觀念并不斷地檢驗(yàn)從直觀生成的對(duì)象和定理，逐步地進(jìn)行構(gòu)造，以求得數(shù)學(xué)的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構(gòu)造的合理性。如確定一個(gè)集合，原來(lái)康托的樸素定義只要求給出一個(gè)判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認(rèn)為還應(yīng)要求擬定出一個(gè)辦法來(lái)真正構(gòu)造集合的一個(gè)元素并證明集合中兩個(gè)元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭(zhēng)議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構(gòu)造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當(dāng)大的一部分有價(jià)值的數(shù)學(xué)。1967年畢曉普的《構(gòu)造性分析》的出版，標(biāo)志著這一新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的建立，而隨后《構(gòu)造性泛函分析》的問(wèn)世，則表明了這一領(lǐng)域的新進(jìn)展。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)的另一個(gè)新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是以算法概念為基礎(chǔ)的，即把其它一切概念都?xì)w約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語(yǔ)言表達(dá)，所有引用實(shí)無(wú)窮的話都嚴(yán)格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對(duì)構(gòu)造分析學(xué)作了相當(dāng)深入的研究，對(duì)于許多數(shù)學(xué)分支的算法化以及制定構(gòu)造邏輯的語(yǔ)義學(xué)都作了很可觀的工作。如他把實(shí)數(shù)定義成一種逐次逼近的算法，實(shí)函數(shù)也就等同于一個(gè)算法。他的正規(guī)算法就是目前少數(shù)幾個(gè)力量最強(qiáng)的精確化的算法概念。

以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，是對(duì)早先直覺主義數(shù)學(xué)的發(fā)展、揚(yáng)棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強(qiáng)調(diào)在構(gòu)造數(shù)學(xué)內(nèi)部要求“證明存在一個(gè)具有性質(zhì)P的x，必須指出一個(gè)有限的方法來(lái)構(gòu)造x，以及找出一個(gè)有限的方法來(lái)證明x具有性質(zhì)P”。但另一方面，它又不同于直覺主義數(shù)學(xué)，它不象直覺主義數(shù)學(xué)那樣極端地要把全部數(shù)學(xué)都“構(gòu)造化”，他們只是想從構(gòu)造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的新學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，從構(gòu)造的觀點(diǎn)來(lái)研究，對(duì)許多老問(wèn)題都會(huì)有新的見解。他們認(rèn)為構(gòu)造性數(shù)學(xué)和非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進(jìn)的。

二　構(gòu)造性數(shù)學(xué)的原則與基礎(chǔ)

如前所述，對(duì)可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征，其實(shí)也可以說(shuō)，這就是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)原則。它要求一個(gè)關(guān)于“存在一個(gè)具有性質(zhì)P的x的證明”，必須解釋x的構(gòu)造是怎樣實(shí)行的。這與通?！凹兇獯嬖谛宰C明”的做法不一樣，在那里，一個(gè)具有性質(zhì)P的x的存在性是通過(guò)采用指出假設(shè)“x不存在”就會(huì)導(dǎo)致矛盾的辦法來(lái)證明的。從構(gòu)造性的觀點(diǎn)看，后一證明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未給出尋找x的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構(gòu)造主義者還必須采取一些附加的構(gòu)造性辦法來(lái)證明x具有性質(zhì)P。因此，僅僅證明如果x不具有性質(zhì)P就會(huì)導(dǎo)致矛盾是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為了充分認(rèn)識(shí)構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造數(shù)學(xué)之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個(gè)例子給予說(shuō)明。如代數(shù)基本定理：

任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式f至少有一個(gè)復(fù)根。?。á瘢?/p>

對(duì)于（Ⅰ）最著名的非構(gòu)造性證明是，假設(shè)f不取零值，把劉維爾定理用于f的倒數(shù)，得出1／f是常數(shù)，于是f是常數(shù)，矛盾，證明完成。從構(gòu)造的觀點(diǎn)看，這里證明的并不是代數(shù)基本定理，而是較弱的命題：

不取零值的復(fù)數(shù)上多項(xiàng)式是常項(xiàng)。

（Ⅱ）

因?yàn)樯鲜鲎C明不能幫助你計(jì)算100階多項(xiàng)式的根，它沒有給出多項(xiàng)式求根的方法。但是布勞威爾卻對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式的代數(shù)基本定理給出了一個(gè)構(gòu)造性的證明（證明的大體思路可參見文〔4〕）。有了這個(gè)證明，就可以求任意階（如100階）多項(xiàng)式的根了。

應(yīng)該指出，每一個(gè)構(gòu)造性證明也是同一命題的一個(gè)經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數(shù)基本定理的一個(gè)經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實(shí)比用劉維爾定理的證明更長(zhǎng)，但它也告訴了我們更多的信息。代數(shù)基本定理在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中被布勞威爾解釋成：有一個(gè)適用于任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式f的有限方法，我們能夠用以計(jì)算f的根。

以上只是我們例舉的一個(gè)例子，其實(shí)每一個(gè)經(jīng)典定理都是向構(gòu)造性數(shù)學(xué)提出的一個(gè)挑戰(zhàn)：找出一個(gè)構(gòu)造性的說(shuō)法，并給它以一個(gè)構(gòu)造性的證明。然而在多數(shù)情況下，找出經(jīng)典定理所對(duì)應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容絕非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進(jìn)行構(gòu)造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構(gòu)造性數(shù)學(xué)內(nèi)部不得不暫時(shí)將這些有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容排斥在外。但應(yīng)指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。

另一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。這是一個(gè)涉及構(gòu)造性數(shù)學(xué)的可靠性，以及可構(gòu)造性何以能夠得以實(shí)現(xiàn)的重要問(wèn)題。對(duì)此我們分兩部分來(lái)談。

首先，我們來(lái)看直覺主義數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。眾所周知，直覺主義數(shù)學(xué)是以自然數(shù)理論為其數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)。因此對(duì)于直覺主義數(shù)學(xué)的建構(gòu)來(lái)說(shuō)，首要的問(wèn)題就是如何依據(jù)構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)在自然數(shù)的基礎(chǔ)上建立起它的實(shí)數(shù)理論，因?yàn)閷?shí)數(shù)理論是整個(gè)分析學(xué)的基礎(chǔ)。有理數(shù)的構(gòu)建是容易的，只要把有理數(shù)作為整數(shù)對(duì)引進(jìn)即可。關(guān)鍵是如何在構(gòu)造意義下給出實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構(gòu)造實(shí)數(shù)概念，布勞威爾首先獨(dú)創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構(gòu)造性的標(biāo)準(zhǔn)重新定義的一種集合：它等同于已構(gòu)成的數(shù)學(xué)對(duì)象所可能具有的一種性質(zhì)，依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對(duì)象是否屬于這一“屬種”。進(jìn)一步布勞威爾引進(jìn)了“選擇序列”的概念：“在任何時(shí)刻，一個(gè)選擇序列a系由一個(gè)有窮的節(jié)連同對(duì)它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數(shù)選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數(shù)柯西序列概念，并稱之為“實(shí)數(shù)生成子”。于是構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)就被定義為實(shí)數(shù)生成子的一個(gè)等價(jià)屬種。實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念建構(gòu)的比較晚，直到1919年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構(gòu)了符合構(gòu)造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構(gòu)方法可參見〔5〕第168—170頁(yè)）。在那里，每個(gè)可能的選擇序列就是一個(gè)可構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)，而整個(gè)展形就是可構(gòu)造意義下的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時(shí)構(gòu)造出來(lái)的。所謂展形，實(shí)際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒有對(duì)元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數(shù)的次序進(jìn)行下去。這樣，作為這種自由選擇的結(jié)果就不只是某個(gè)特殊的序列，而是各種可能的序列。實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)，為直覺主義數(shù)學(xué)的展開奠定了基礎(chǔ)。

至此，或許有人會(huì)認(rèn)為直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已經(jīng)得到圓滿的重構(gòu)和解釋，其實(shí)不然，因?yàn)橹庇X主義者對(duì)其一直強(qiáng)調(diào)的“可構(gòu)造性”始終沒有給出一個(gè)明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認(rèn)為：“反唯象論的構(gòu)造方法的成功是不可否認(rèn)的。然而它所依據(jù)的最終基礎(chǔ)仍是一個(gè)謎，甚至在數(shù)學(xué)中也是如此?！保ā?〕，第112頁(yè)）人們對(duì)于什么是“直覺上可構(gòu)造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構(gòu)造主義者認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)是不應(yīng)包含“否定”概念的，因?yàn)槿魏畏穸ㄐ缘拿}（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一p就意味著“我們給出了這樣一種構(gòu)造。由證明p的構(gòu)造出發(fā)就會(huì)得出矛盾”），都假設(shè)了一個(gè)不可能實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造（證明p的構(gòu)造）。另外，也有的直覺主義者對(duì)前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實(shí)數(shù)理論就無(wú)法得到重建。之所以人們對(duì)什么是直覺上“可構(gòu)造的”沒有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，其原因就在于“可構(gòu)造的”只是一個(gè)不精確的日常用語(yǔ)，因而會(huì)被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來(lái)，這一概念是無(wú)需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來(lái)，卻有著進(jìn)一步解釋的必要。這里我們僅簡(jiǎn)單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個(gè)基本概念，這就是“構(gòu)造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個(gè)概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個(gè)解釋過(guò)程繁長(zhǎng)，故只給出其結(jié)論（詳見〔3〕第97—98頁(yè)，〔7〕第545—551頁(yè)）?？肆值慕Y(jié)論是：直覺主義的構(gòu)造等同于部分可計(jì)算函數(shù)。進(jìn)一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過(guò)是任意的序列；布勞威爾的函數(shù)則是部分可計(jì)算函數(shù)。克林指出，只有存在相應(yīng)遞歸函數(shù)的公式才能在直覺主義系統(tǒng)內(nèi)證明。由此，直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就被克林歸約到相遞歸函數(shù)或可計(jì)算函數(shù)之上了。另外，哥德爾對(duì)構(gòu)造性也作了類似于克林的解釋，不過(guò)哥德爾可容許構(gòu)造的類要寬得多，他不是把構(gòu)造等同于可計(jì)算函數(shù)，而是等同于可計(jì)算泛函（〔3〕第99—100頁(yè)）。

下面我們?cè)賮?lái)看看后期構(gòu)造數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義數(shù)學(xué)之后的構(gòu)造性數(shù)學(xué)表現(xiàn)出多元的傾向，它們?nèi)菰S的數(shù)學(xué)對(duì)象也更寬，采取的構(gòu)造性方案也各有特點(diǎn)。這里我們無(wú)意對(duì)它們的細(xì)節(jié)進(jìn)行考察，只是想簡(jiǎn)要地分析一下各自的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。斯派克是直覺主義數(shù)學(xué)之后較早表現(xiàn)出構(gòu)造性傾向的數(shù)學(xué)家之一，他在1949年就考察了一類較窄的實(shí)數(shù)，他稱之為原始遞歸實(shí)數(shù)。它以（1／2）［n］的精度來(lái)逼近：

（附圖　）

其中f′、f″、g均是原始遞歸函數(shù)。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級(jí)數(shù)Σf［，（n）］／g［n］部分和來(lái)逼近。羅賓遜（1951年）、里斯（1954年）等后來(lái)又給出了更廣一類的實(shí)數(shù)，稱為可計(jì)算實(shí)數(shù)，也是利用遞歸函數(shù)進(jìn)行逼近而得出的。不過(guò)為了建立構(gòu)造性分析學(xué)，更主要的是要給出構(gòu)造意義下的函數(shù)乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在1959年給出了一個(gè)叫可計(jì)算實(shí)變函數(shù)的概念（〔3〕第103頁(yè)）?？肆忠部紤]了一類部分可計(jì)算泛涵，這些泛函使每個(gè)函數(shù)f都與一相對(duì)于f可計(jì)算的部分函數(shù)相關(guān)聯(lián)。到了60年代，構(gòu)造性數(shù)學(xué)有了一個(gè)大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數(shù)集的遞歸等價(jià)物的理論，這個(gè)理論的特點(diǎn)是用整數(shù)集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。1967年畢曉普出版《構(gòu)造性分析》，開創(chuàng)了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新時(shí)期，而他的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征就是把一切數(shù)學(xué)對(duì)象都化歸為可編碼的對(duì)象和遞歸函數(shù)。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)中另一個(gè)體系是馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的算法概念為基礎(chǔ)的理論。他們采納的也是構(gòu)造性邏輯，但他們把一切概念都?xì)w約為算法這個(gè)概念。馬爾科夫提出的正規(guī)算法就是目前知道的最有力量的少數(shù)幾個(gè)算法之一?，F(xiàn)已證明，正規(guī)算法與前面提到的遞歸函數(shù)或可計(jì)算函數(shù)都是等價(jià)的。這樣一來(lái)，我們便就可以不作區(qū)分地講，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是遞歸函數(shù)或算法。

綜合上述，我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸根到底是遞歸論?；蛘哒f(shuō)，所謂構(gòu)造性、可構(gòu)造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價(jià)的。這就是我們對(duì)構(gòu)造性的理解。有了這樣一種解釋，我們也就基本了解了“構(gòu)造性”的真實(shí)涵義。盡管從哲學(xué)上講，它可能還具有更深刻更豐富的內(nèi)涵，但從實(shí)踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進(jìn)而也就是能行性。

三、構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義及其它

在對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的意義作出評(píng)述之前，有必要先弄清楚以下兩個(gè)問(wèn)題：1．構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？2．構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的問(wèn)題和所要達(dá)到的目的是什么？

在經(jīng)典數(shù)學(xué)如此成功的情況下，為什么還會(huì)出現(xiàn)構(gòu)造性數(shù)學(xué)？構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因是什么？這確實(shí)是對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)行哲學(xué)研究所必須回答的一個(gè)問(wèn)題。我們認(rèn)為，原因主要有以下四個(gè)方面：一、為了解決由于集合悖論的出現(xiàn)而引發(fā)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這是布勞威爾直覺主義數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接原因。對(duì)此，大家已比較熟悉，無(wú)須多言。然而這只是一個(gè)表層的原因，事實(shí)上還有以下更深刻的哲學(xué)原因。二、為了解決數(shù)學(xué)概念和方法的可靠性問(wèn)題。由于集合悖論的出現(xiàn)，使得直覺主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數(shù)學(xué)這個(gè)問(wèn)題上。他們認(rèn)為“存在必須被構(gòu)造”。因此，只有經(jīng)過(guò)構(gòu)造性檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)才是可靠的。這樣一種認(rèn)識(shí)論主張，是構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構(gòu)造性數(shù)學(xué)、尤其是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個(gè)方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個(gè)根均是未知的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)就是針對(duì)純存在性證明的這個(gè)缺陷，提出要證明一個(gè)方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構(gòu)造性數(shù)學(xué)的角度看經(jīng)典數(shù)學(xué)，會(huì)產(chǎn)生許多新的見解、新的方法，這不僅可以獲得對(duì)數(shù)學(xué)更深刻的認(rèn)識(shí)，而且可以促進(jìn)兩類數(shù)學(xué)的共同發(fā)展，這是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的又一原因。以上這些原因概括起來(lái)也就是兩點(diǎn)：一、經(jīng)典數(shù)學(xué)本身的不足；二、“存在必須被構(gòu)造”的認(rèn)識(shí)論信念。我們認(rèn)為，正是這兩個(gè)根本原因，引發(fā)了在本世紀(jì)產(chǎn)生的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。

從對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生原因的以上認(rèn)識(shí)，不難看到，早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)所要解決的就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，所要達(dá)到的目的就是確立數(shù)學(xué)的可靠性。后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的沒有這么強(qiáng)，它們不再去解決數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題，而只是用構(gòu)造性方法來(lái)研究數(shù)學(xué)，建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)可靠性問(wèn)題上，盡管后期構(gòu)造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學(xué)主張，尤其是“原始直覺”觀念，但他們還是吸取了“存在必須被構(gòu)造”的可靠性觀念。因此，確立數(shù)學(xué)的可靠性依然是后期構(gòu)造性數(shù)學(xué)的目的之一。那么構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了它想要解決的問(wèn)題呢？通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答，可以看到構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大意義和特殊價(jià)值。我們先來(lái)看看早期構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不是解決了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題?；蛟S有人會(huì)對(duì)此問(wèn)題的提出感到奇怪，不是早就說(shuō)直覺主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實(shí)問(wèn)題并非如此簡(jiǎn)單。盡管在人們?yōu)閿?shù)學(xué)大廈尋找基礎(chǔ)的一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，直覺主義已遭到世界數(shù)學(xué)界多數(shù)人的反對(duì)，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺主義的“失敗”僅僅是因?yàn)槠洹斑^(guò)于謹(jǐn)慎而一時(shí)”地拒斥了許多被認(rèn)為很有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)，它在邏輯上并沒有被宣告失敗?，F(xiàn)在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒有了，但新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展正方興未艾。如果這類構(gòu)造性數(shù)學(xué)能夠取得全面的突破性的大進(jìn)展，誰(shuí)又能保證直覺主義數(shù)學(xué)不會(huì)“卷土重來(lái)”？事實(shí)上，相信構(gòu)造性數(shù)學(xué)可能會(huì)獲得成功的人是始終存在的，且不說(shuō)構(gòu)造主義者本身，非構(gòu)造主義者，如克林也相信：直覺主義地重建經(jīng)典數(shù)學(xué)的可能性還是存在的（〔7〕第55，551頁(yè)）。由此我們認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)依然是重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)可能的途徑。那種認(rèn)為直覺主義計(jì)劃已徹底破產(chǎn)的認(rèn)識(shí)是過(guò)于武斷的。

后期構(gòu)造主義者試圖建立一門與經(jīng)典數(shù)學(xué)平行的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，我們認(rèn)為這一計(jì)劃正在實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，近來(lái)構(gòu)造性數(shù)學(xué)成果的不斷涌現(xiàn)就是證明。構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義，不僅在于出現(xiàn)了一門新的理論、開創(chuàng)了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時(shí)也在于構(gòu)造性的成果更便于應(yīng)用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說(shuō)，構(gòu)造性數(shù)學(xué)彌補(bǔ)了經(jīng)典數(shù)學(xué)的不少缺陷。聯(lián)系到計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，這種構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究就更有其深遠(yuǎn)意義了。無(wú)怪胡世華教授說(shuō)：“在非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究中，構(gòu)造性成分越多的部分往往對(duì)自身的發(fā)展也越有意義”。（〔8〕第268頁(yè)）

進(jìn)一步，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是否達(dá)到了它最初的確立數(shù)學(xué)可靠性的根本目的呢？由于數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)技術(shù)問(wèn)題，更主要的是一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，因此對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答不可能有一個(gè)終極答案，對(duì)構(gòu)造主義者的回答人們也會(huì)仁者見仁，智者見智。故這里我們只是給出自己對(duì)這一問(wèn)題的一些看法。我們認(rèn)為，在哲學(xué)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生提出了一個(gè)新的“可靠性”觀念。直覺主義者認(rèn)為，一切非構(gòu)造的存在，都是“超出一切人類的真實(shí)可行的‘絕對(duì)’，”正是因?yàn)橄嘈帕诉@樣一種“絕對(duì)”，經(jīng)典數(shù)學(xué)才“遠(yuǎn)遠(yuǎn)地不再是有真實(shí)意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了?！保ā?〕第50頁(yè)）為此，直覺主義者強(qiáng)調(diào)：存在必須是被構(gòu)造。認(rèn)為只有一步一步（有限的）構(gòu)造出來(lái)的東西才是真實(shí)的、有意義的、可靠的。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的“純存在”視為一種無(wú)異于形而上學(xué)的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著‘被構(gòu)造’，那就一定包含某種形而上學(xué)的意義?！保ā?〕第241頁(yè)）在黑丁看來(lái)，對(duì)這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數(shù)學(xué)的任務(wù)，認(rèn)為應(yīng)該“把數(shù)學(xué)當(dāng)作某種比形而上學(xué)簡(jiǎn)單得多、直接得多的東西來(lái)研究”。為此，直覺主義才突出地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從非構(gòu)造性向構(gòu)造性化歸。我們認(rèn)為，這是在從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論上提出了一種新的可靠性標(biāo)準(zhǔn)或觀念。這種標(biāo)準(zhǔn)或觀念從實(shí)用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應(yīng)該得到采納的，它對(duì)“信息時(shí)代的數(shù)學(xué)”（胡世華語(yǔ)）的發(fā)展是很有意義的。當(dāng)然，這也并不妨在經(jīng)典數(shù)學(xué)中人們有時(shí)（即不得已時(shí)）可以采用更靈活的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。但我們認(rèn)為，可構(gòu)造性是一個(gè)更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家評(píng)判數(shù)學(xué)可靠性的第一標(biāo)準(zhǔn)或最高標(biāo)準(zhǔn)。至于第二、第三等更靈活、更弱的標(biāo)準(zhǔn)，不同的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家可能會(huì)有不同的選擇。那么何以見得可構(gòu)造性就是更強(qiáng)的可靠性標(biāo)準(zhǔn)呢？構(gòu)造性數(shù)學(xué)就真的比經(jīng)典數(shù)學(xué)更為可靠、更具可接受性嗎？我們認(rèn)為，答案應(yīng)該是肯定的。道理很簡(jiǎn)單，就是因?yàn)闃?gòu)造性數(shù)學(xué)的原則遠(yuǎn)較非構(gòu)造性數(shù)學(xué)嚴(yán)格，構(gòu)造性數(shù)學(xué)成立的每一定理對(duì)于非構(gòu)造性數(shù)學(xué)也成立；反之，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立的定理卻不一定在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中成立。因此，構(gòu)造性數(shù)學(xué)實(shí)際上成了非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的一個(gè)真子集。另外，從邏輯基礎(chǔ)的角度講，直覺主義邏輯的公理和定理在經(jīng)典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺主義邏輯是經(jīng)典邏輯的一個(gè)真部分。我們認(rèn)為，這些理由完全可以表明，以構(gòu)造性為可靠性標(biāo)準(zhǔn)而建立的定理比經(jīng)典數(shù)學(xué)中的定理更可靠。

我國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)界對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張?jiān)u價(jià)普遍較低，其原由不外乎這么幾點(diǎn)：1．直覺主義數(shù)學(xué)排斥了一大部分具有應(yīng)用價(jià)值的經(jīng)典數(shù)學(xué)。2．排斥了實(shí)無(wú)窮和經(jīng)典邏輯。3．與經(jīng)典數(shù)學(xué)相比，構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認(rèn)為是不可能的）。我們認(rèn)為，這些并不構(gòu)成對(duì)構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)主張的否定。對(duì)此可以簡(jiǎn)要地分析如下：首先，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一門全新的數(shù)學(xué)理論，它的邏輯基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)原則和哲學(xué)主張不可能完全等同于經(jīng)典數(shù)學(xué)。因此，我們必須正視構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性。有什么理由說(shuō)，選擇實(shí)無(wú)窮就是對(duì)的，而選擇潛無(wú)窮就是錯(cuò)的？又有什么理由說(shuō)，選擇經(jīng)典邏輯就是科學(xué)的，選擇構(gòu)造性邏輯就是不科學(xué)的？我們沒有超越實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的“絕對(duì)無(wú)窮觀”，也沒有超越經(jīng)典邏輯和構(gòu)造邏輯的“絕對(duì)邏輯”，我們沒有終極的絕對(duì)的參照系。實(shí)際上，反對(duì)潛無(wú)窮只能是站在實(shí)無(wú)窮的立場(chǎng)上，反對(duì)構(gòu)造性邏輯也只能是站在經(jīng)典邏輯的立場(chǎng)上。但反過(guò)來(lái)也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點(diǎn)只能是實(shí)踐——數(shù)學(xué)的內(nèi)部實(shí)踐和外部實(shí)踐。不管是實(shí)無(wú)窮、潛無(wú)窮，也不管是經(jīng)典邏輯、構(gòu)造邏輯，只要以它們?yōu)榛A(chǔ)能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應(yīng)用，那么我們就要承認(rèn)它們。說(shuō)構(gòu)造性數(shù)學(xué)顯得繁瑣和復(fù)雜，這也不是絕對(duì)的，如復(fù)分析中對(duì)畢卡大定理的構(gòu)造性證明就顯得更為直觀，它的非構(gòu)造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱為橢圓模函數(shù)的較高深的數(shù)學(xué)工具，后來(lái)雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復(fù)，而相應(yīng)的構(gòu)造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數(shù)的基本性質(zhì)。說(shuō)構(gòu)造性數(shù)學(xué)進(jìn)展緩慢、難以成功，這并不意味著構(gòu)造性數(shù)學(xué)不能成功。何況它在內(nèi)容上的復(fù)雜和進(jìn)展上的緩慢是有原因的：每一個(gè)構(gòu)造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實(shí)用的信息。因此我們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)的復(fù)雜和緩慢看作是為了獲得更多更實(shí)用的信息所必須付出的代價(jià)。應(yīng)該承認(rèn)，這種代價(jià)的付出是值得的。至于說(shuō)到直覺主義數(shù)學(xué)排斥了一部分有價(jià)值的經(jīng)典數(shù)學(xué)，我們說(shuō)這并非直覺主義數(shù)學(xué)的過(guò)錯(cuò)，因?yàn)閷?duì)部分經(jīng)典數(shù)學(xué)的排斥并非邏輯地注定了的，誰(shuí)又能保證這不是由于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的構(gòu)造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會(huì)再排斥。如果排斥是必然的，則正說(shuō)明構(gòu)造性數(shù)學(xué)的獨(dú)特性，說(shuō)明數(shù)學(xué)具有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩個(gè)不同側(cè)面，說(shuō)明這兩種數(shù)學(xué)確實(shí)存在不可化歸的關(guān)系。

也許會(huì)有許多人說(shuō)，他們反對(duì)的只是直覺主義的哲學(xué)主張。在我們看來(lái)，直覺主義哲學(xué)除了它所主張的潛無(wú)窮觀和構(gòu)造性邏輯外，就是這么兩點(diǎn)：一、存在必須被構(gòu)造；二、原始直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。關(guān)于潛無(wú)窮觀和構(gòu)造性邏輯前面剛剛談過(guò)，不再重復(fù)。一些人對(duì)直覺主義者把可構(gòu)造性作為數(shù)學(xué)理論可靠性的標(biāo)準(zhǔn)表示反對(duì)，前面我們也進(jìn)行了反駁，并指出了可構(gòu)造性是更強(qiáng)、更可靠的可靠性標(biāo)準(zhǔn)。至于提到“原始直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”這一哲學(xué)主張，我們認(rèn)為首先應(yīng)該區(qū)別它的兩種不同涵義：一是從數(shù)學(xué)發(fā)生學(xué)的角度講，數(shù)學(xué)是產(chǎn)生于人類的原始直覺，原始直覺是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。二是從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的角度講，數(shù)學(xué)的可靠性根源于人類的原始直覺，原始直覺是保證數(shù)學(xué)可靠性的基礎(chǔ)。我們認(rèn)為，直覺主義者在講“原如直覺是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”時(shí)，包括了上述兩層意思。不過(guò)我們認(rèn)為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對(duì)此我們將另文專論），后者是錯(cuò)誤的。原因正如波普爾所說(shuō)：相信知識(shí)在發(fā)生學(xué)或心理學(xué)上是先驗(yàn)的，這是對(duì)的；但認(rèn)為知識(shí)都能先驗(yàn)地正確，就大錯(cuò)特錯(cuò)了。源于人的直覺的數(shù)學(xué)，如果沒有被邏輯地構(gòu)造與證明，它就沒有獲得必要的可靠性。但聯(lián)想到直覺主義者隨時(shí)都在強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性，因此他們?cè)谡軐W(xué)上的一些錯(cuò)誤并不會(huì)影響到其數(shù)學(xué)的可靠性。說(shuō)直覺主義哲學(xué)大體上是可接受的，還有一個(gè)有力的理由，即在這種哲學(xué)主張的基礎(chǔ)上而建立起的直覺主義數(shù)學(xué)，并未象經(jīng)典數(shù)學(xué)那樣一再地發(fā)生危機(jī)——出現(xiàn)悖論，它是自相容的。

美籍華人王浩先生曾認(rèn)為，構(gòu)造性數(shù)學(xué)是做的數(shù)學(xué)，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是在的數(shù)學(xué)。對(duì)此，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家胡世華先生給予了如下的解釋和進(jìn)一步的發(fā)揮：“數(shù)學(xué)的在是信息模式和結(jié)構(gòu)的在；數(shù)學(xué)的做是信息加工。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是用數(shù)學(xué)取得的結(jié)果把結(jié)果構(gòu)造出來(lái)，側(cè)重于思維的構(gòu)造性實(shí)踐，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是數(shù)學(xué)地理解問(wèn)題和規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)理論體系，追求科學(xué)思想”。（〔8〕第267頁(yè)）我們認(rèn)為，這些看法是比較客觀的。但應(yīng)進(jìn)一步指明的是，構(gòu)造性數(shù)學(xué)并非像許多人認(rèn)為的那樣，總是直接因襲標(biāo)準(zhǔn)的非構(gòu)造性數(shù)學(xué)。事實(shí)上，構(gòu)造性數(shù)學(xué)不是命中注定永遠(yuǎn)要靠坐吃經(jīng)典數(shù)學(xué)這個(gè)老板來(lái)發(fā)展。這兩類數(shù)學(xué)的關(guān)系是共生性，而非寄生性的。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的發(fā)展還不足百年，相信它在未來(lái)的發(fā)展中，會(huì)有一個(gè)又一個(gè)的重大突破。當(dāng)然這已是后話了。

參考文獻(xiàn)

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篇(5)

一、服務(wù)專業(yè)需求，整合教學(xué)內(nèi)容

高職數(shù)學(xué)教學(xué)必須緊貼專業(yè)需要，以“必需夠用”為度。高職數(shù)學(xué)教師基本是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的，對(duì)數(shù)學(xué)理論游刃有余，但對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用特別是專業(yè)方面的應(yīng)用則無(wú)從入手，在實(shí)際教學(xué)中教師往往更注重理論的系統(tǒng)完整性， 而忽視其應(yīng)用性。這些都背離了高職教育的培養(yǎng)目標(biāo)， 制約著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，影響著高職數(shù)學(xué)課程的生命力。為此，我們把數(shù)學(xué)教師劃分到各系的相關(guān)專業(yè)中去，深入調(diào)研后決定專業(yè)需要數(shù)學(xué)知識(shí)的范圍及類型。精選經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容，引進(jìn)不同專業(yè)新的科技成果，克服教材教學(xué)內(nèi)容的局限性和不適應(yīng)性，有利于高職數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)的開展與實(shí)施。我們將高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模整合成計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)；將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、線性規(guī)劃、概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模整合成新的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模整合成新的建工數(shù)學(xué)等，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展, 學(xué)科的互相滲透、溶合、轉(zhuǎn)化是必然之勢(shì), 這樣從課程體系上實(shí)現(xiàn)了符合學(xué)科發(fā)展的轉(zhuǎn)化, 從而使高職數(shù)學(xué)課程更具有生命力。

二、加強(qiáng)概念教學(xué)，服務(wù)專業(yè)應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念理解的程度直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)專業(yè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解。一般教材在完成了數(shù)學(xué)概念的定義后,而立即轉(zhuǎn)入運(yùn)算工作,這種方法導(dǎo)致學(xué)生對(duì)運(yùn)算十分熟練,但在專業(yè)課上需要用某個(gè)數(shù)學(xué)概念去描述這一專業(yè)概念時(shí),學(xué)生卻一片茫然。可見,數(shù)學(xué)概念教學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù)是至關(guān)重要的。

1、 展示概念背景,重視概念的引入

數(shù)學(xué)概念無(wú)論是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來(lái),還是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象才產(chǎn)生發(fā)展得來(lái)的,均來(lái)自實(shí)際問(wèn)題的需要。所以,在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí),既要善于靈活地從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度提出，也要從學(xué)生所學(xué)的專業(yè)內(nèi)容引入，盡可能地選取接近其專業(yè)問(wèn)題作為概念教學(xué)的引例，以改變過(guò)去那種僅僅以數(shù)學(xué)自身的需要去闡述概念的教學(xué)體系。 在講授導(dǎo)數(shù)概念時(shí)， 除了舉出書本上變化率問(wèn)題中介紹的變速直線運(yùn)動(dòng)的速度外， 還可介紹一些與專業(yè)有關(guān)的變化率問(wèn)題，在經(jīng)貿(mào)專業(yè)可介紹產(chǎn)品總量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是總產(chǎn)量的變化率，產(chǎn)品總成本對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)就是產(chǎn)品總成本的變化率（邊際成本）；在制藥專業(yè)授課時(shí)可介紹身體對(duì)藥物的敏感度。

2、引進(jìn)專業(yè)模型,強(qiáng)化概念的運(yùn)用

在完成了數(shù)學(xué)概念的定義后，學(xué)生理解了概念不一定就能真正掌握它,只有反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生對(duì)該概念在專業(yè)實(shí)用性上的認(rèn)識(shí),才能鞏固深化對(duì)概念的理解。實(shí)現(xiàn)這一要求,需要數(shù)學(xué)教師在教學(xué)準(zhǔn)備階段積極求教于專業(yè)教師,請(qǐng)他們提供專業(yè)課上所用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),弄清數(shù)學(xué)在專業(yè)上的應(yīng)用情況,將相關(guān)的專業(yè)模型引到數(shù)學(xué)課來(lái),突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，拉近數(shù)學(xué)與專業(yè)的距離。比如在工科專業(yè)講了導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算后，可以結(jié)合電子電路課程的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、磁場(chǎng)的變化率等來(lái)加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)概念在專業(yè)實(shí)用性上的認(rèn)識(shí)。

三、滲透數(shù)學(xué)建模思想，服務(wù)學(xué)生實(shí)踐能力的掌握

掌握知識(shí)、積累知識(shí)固然十分重要，但惟有在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中所受到的思想、方法的啟發(fā)和體驗(yàn)，才是今后事業(yè)獲得成功的關(guān)鍵，才是知識(shí)的真正價(jià)值所在。高職數(shù)學(xué)教育的目的不僅是為學(xué)習(xí)專業(yè)課打基礎(chǔ)，更要重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、興趣、能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學(xué)的思維方法創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題。將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高職數(shù)學(xué)課程教學(xué),加強(qiáng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的興起、數(shù)學(xué)軟件功能的強(qiáng)大、現(xiàn)代教育技術(shù)和計(jì)算機(jī)多媒體的使用，為將數(shù)學(xué)建模思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)中，提供了有利的條件。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和接受不斷涌現(xiàn)的新概念、新思想和新方法，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的實(shí)踐能力。在講授函數(shù)最值時(shí)，可結(jié)合工程建設(shè)、生態(tài)、醫(yī)藥、保險(xiǎn)等經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)嵗?；在講授微分方程時(shí)，可結(jié)合人口增長(zhǎng)模型、傳染病模型等實(shí)例講解。

四、加強(qiáng)課堂教學(xué)改革，服務(wù)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

課堂教學(xué)著重探索知識(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想，再現(xiàn)歷史研究過(guò)程，使學(xué)生從中受到創(chuàng)新思維的熏陶，把隱藏在書本背后的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和方法挖掘出來(lái)傳授給學(xué)生，從而授給學(xué)生崇尚數(shù)學(xué)的理性精神和訓(xùn)練創(chuàng)新意識(shí)。充分揭示和展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生的原始過(guò)程.在人類文化遺產(chǎn)的寶庫(kù)中,最為珍貴的就是這些科學(xué)大師們的思想脈絡(luò)以及他們創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的原始過(guò)程.具體地講,在教學(xué)工作中,教師應(yīng)把主要精力放在兩個(gè)問(wèn)題上:一是知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史過(guò)程及其歷史地位；二是科學(xué)大師們?cè)趧?chuàng)造這些知識(shí)時(shí)的心智過(guò)程,即闡明科學(xué)發(fā)現(xiàn)的原始過(guò)程.在教學(xué)中要營(yíng)造吸引學(xué)生參與、研究和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的教學(xué)氛圍。教師應(yīng)自始至終引導(dǎo)學(xué)生參加到知識(shí)的研究和發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程中去,培養(yǎng)他們開拓新局面的思想和主動(dòng)精神.

創(chuàng)造民主和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，質(zhì)疑中孕育創(chuàng)新。教育家羅杰指出：“有利于創(chuàng)造活動(dòng)的一般條件是心理的安全和心理的自由?！苯虒W(xué)中，教師不以傳授者自居，而是創(chuàng)造一種寬松的環(huán)境氣氛，鼓勵(lì)學(xué)生自由爭(zhēng)辯、大膽質(zhì)疑。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一個(gè)重要方面是讓學(xué)生會(huì)思考會(huì)提問(wèn)題，于無(wú)疑處見有疑。教育學(xué)生既勇于放棄自己不成熟的想法，又敢于堅(jiān)持自己合理的見解，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生既會(huì)感受到堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤、實(shí)事求是的科學(xué)精神，又會(huì)感受到謙虛謹(jǐn)慎、和而不同、互相尊重的人文精神。

實(shí)施開放式教學(xué)，創(chuàng)設(shè)進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的情景。開放式教學(xué)概念是日本在20

世紀(jì)70 年代以后提出的，它是一種旨在創(chuàng)造一個(gè)有利于學(xué)生生動(dòng)活潑和主動(dòng)發(fā)展的教育環(huán)境，提供給學(xué)生充分發(fā)展的時(shí)間與空間的全面開放的數(shù)學(xué)教學(xué)形式。它包括時(shí)空的開放和內(nèi)容的開放兩個(gè)層面。時(shí)空開放是基礎(chǔ)層面，是指數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間和空間上要從課堂內(nèi)延伸到課堂外，讓學(xué)生在生產(chǎn)和生活的實(shí)踐中去學(xué)習(xí)。內(nèi)容開放是實(shí)質(zhì)性層面，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意引進(jìn)利于學(xué)生發(fā)散型思維能力培養(yǎng)的開放性教學(xué)內(nèi)容。

五、圍繞人才培養(yǎng)目標(biāo)，服務(wù)學(xué)生教育

高職教育培養(yǎng)學(xué)生的目的不僅是從事某一職業(yè)所必不可少的知識(shí)和技能，更重要的是具有高尚的情操、健全的人格、完美的道德、強(qiáng)烈的社會(huì)責(zé)任感和遠(yuǎn)大的眼光，在于造就全面的人，這是時(shí)代賦予我們的責(zé)任。作為一名高職教師，應(yīng)該增強(qiáng)為學(xué)生服務(wù)的意識(shí)，轉(zhuǎn)變教育觀念，將學(xué)生的思想教育滲透和融合在教學(xué)中，為學(xué)生架設(shè)一個(gè)知識(shí)成長(zhǎng)和精神成人的平臺(tái)，在這個(gè)平臺(tái)不僅教會(huì)學(xué)生采掘科學(xué)知識(shí)、掌握技能，而且要擷取思想的精華；不僅教會(huì)學(xué)生如何做事，更要教會(huì)學(xué)生怎樣做人。

篇(6)

[關(guān)鍵詞] 教育理念 高等數(shù)學(xué) 教學(xué)策略

高等數(shù)學(xué)作為高職教育中大部分專業(yè)的基礎(chǔ)性或服務(wù)性課程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)工具的掌握以及后繼課程的學(xué)習(xí)起重要作用，其教學(xué)質(zhì)量關(guān)乎學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展。從系統(tǒng)科學(xué)的觀點(diǎn)看，教學(xué)過(guò)程就是教與學(xué)之間信息傳遞與反饋的控制過(guò)程。信息傳遞過(guò)程中信息的組織形式、傳遞模式直接影響著信息接收的有效性[1]。目前，高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，我們必須及時(shí)轉(zhuǎn)變教育理念，緊緊圍繞教學(xué)目的，加強(qiáng)教學(xué)法研究，改革高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式和教學(xué)手段，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決實(shí)際問(wèn)題能力和創(chuàng)新能力。

1.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容

1.1教學(xué)內(nèi)容分析

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容可分為四個(gè)層次：概念層次、原理層次、擴(kuò)展層次和應(yīng)用層次。

概念層次是指高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中最原始、最基本的概念。如，極限、導(dǎo)數(shù)、原函數(shù)、定積分、不定積分、行列式、矩陣、概率等。這些概念是數(shù)學(xué)思想的精華，是形成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。正確理解這些數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想起著關(guān)鍵作用。

原理層次是指由基本概念導(dǎo)出的性質(zhì)及原始定理等。如，積分的性質(zhì)、運(yùn)算法則、牛頓萊布尼茨公式等。理解這些性質(zhì)和運(yùn)算公式的推導(dǎo)，決定著對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，為抽象符號(hào)系統(tǒng)下進(jìn)行推理證明的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

擴(kuò)展層次是指由性質(zhì)、原始定理導(dǎo)出的定理和結(jié)論等。如微分學(xué)中的夾逼定理、介值定理、極值判別法等，這部分定理和結(jié)論需要運(yùn)用上一層的定理和結(jié)論進(jìn)行證明，抽象性更強(qiáng)，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。掌握這部分內(nèi)容對(duì)擴(kuò)展數(shù)學(xué)視野、促進(jìn)邏輯推理思維起著極為重要的作用，是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要階段。

應(yīng)用層次是指對(duì)數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、原理、定理等的具體應(yīng)用，可分為公式的、原理的、實(shí)際的三大類。

1.2優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)內(nèi)容的針對(duì)性、應(yīng)用性

1.2.1認(rèn)真把握教材的選擇

高等數(shù)學(xué)作為高職教育中大部分專業(yè)的基礎(chǔ)性或服務(wù)性課程，自高等職業(yè)教育產(chǎn)生以來(lái)就有別于普通的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，其教育目的是為學(xué)生的專業(yè)理論打基礎(chǔ)，為學(xué)生的專業(yè)實(shí)踐服務(wù)，其授課內(nèi)容要緊密結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè)，所以要打破材、綱、案的約束，根據(jù)不同專業(yè)特點(diǎn)選用不同的教材、編寫不同的教學(xué)大綱和教案，從而在教學(xué)上既能突出基礎(chǔ)，又能加強(qiáng)針對(duì)性，體現(xiàn)應(yīng)用性。

1.2.2合理安排教學(xué)內(nèi)容

由于高職教育中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)時(shí)數(shù)較少，所以教學(xué)內(nèi)容的選取應(yīng)當(dāng)少而精，做到實(shí)用、夠用，定理的證明等可略講。另外，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容應(yīng)與專業(yè)相貼近，針對(duì)不同系別和專業(yè)的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和重點(diǎn)也應(yīng)有所不同，如計(jì)算機(jī)專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述線性代數(shù)、圖論等內(nèi)容，經(jīng)貿(mào)類專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述微積分理論包括需求彈性、價(jià)格彈性等內(nèi)容，經(jīng)濟(jì)學(xué)類專業(yè)應(yīng)重點(diǎn)講述概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

2.高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)

2.1課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)分析

一個(gè)完整的教學(xué)內(nèi)容，盡管教學(xué)方式和方法是多種多樣的，但在整體結(jié)構(gòu)上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)一定的結(jié)構(gòu)性，可以概括為：（1）提出問(wèn)題，了解背景；（2）抽象概括，獲得方法；（3）演示范例，鞏固概念；（4）探討實(shí)質(zhì)，擴(kuò)展結(jié)論。提出問(wèn)題、抽象概括、演示范例、探討實(shí)質(zhì)體現(xiàn)的是“教”的順序結(jié)構(gòu)，了解背景、獲得方法、鞏固概念、擴(kuò)展結(jié)論體現(xiàn)的是“學(xué)”的過(guò)程.數(shù)學(xué)的“教”和“學(xué)”的過(guò)程正是在這樣的結(jié)構(gòu)中逐層深入、循環(huán)擴(kuò)展、不斷豐富的。

2.2教學(xué)內(nèi)容各層次教學(xué)

2.2.1概念層次的教學(xué)

學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論告訴我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是通過(guò)同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的[2]。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是在其認(rèn)識(shí)新知識(shí)的過(guò)程中，伴隨著同化和順應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷再構(gòu)建的過(guò)程，是在新水平上對(duì)原認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行延伸、改組而成的新系統(tǒng)。

2.2.2原理層次的教學(xué)

數(shù)學(xué)原理是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的精華，是數(shù)學(xué)思想與方法的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)原理的教學(xué)大致可分為兩大類：第一類是利用概念定義導(dǎo)出的運(yùn)算法則和某些性質(zhì)等。這一部分的教學(xué)要注重定義式的使用，注重板書過(guò)程教學(xué)，使學(xué)生通過(guò)板書過(guò)程進(jìn)行思維、認(rèn)識(shí)推理、形成印象、感悟方法。第二類是數(shù)學(xué)中的重要定理。這一部分是數(shù)學(xué)理論核心，是數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，在教學(xué)中要對(duì)定理所表達(dá)的內(nèi)容進(jìn)行充分的解釋，運(yùn)用與內(nèi)容有關(guān)的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)思想上的提升。

2.2.3擴(kuò)展層次的教學(xué)

擴(kuò)展層次是利用已知結(jié)論推證另一結(jié)論，屬于廣義抽象的范疇，如用零值定理證明介值定理、用柯西中值定理證明洛必達(dá)法則等。要證明某個(gè)結(jié)論，就要利用已知正確的結(jié)論，經(jīng)過(guò)合乎邏輯的推理導(dǎo)出要證的結(jié)論。正確的概念、準(zhǔn)確的符號(hào)表達(dá)、演繹推理三段論的正確使用是進(jìn)行正確推理的基本要素。因此，在教學(xué)中要注重概念的準(zhǔn)確使用和推理過(guò)程的符號(hào)表達(dá)。

2.2.4應(yīng)用層次的教學(xué)

應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，大體分為公式的、原理的、實(shí)際的三類，每一類訓(xùn)練的重點(diǎn)是不同的。不管是哪一類的應(yīng)用，都有一個(gè)從低級(jí)到高級(jí)的漸進(jìn)過(guò)程，可分為四個(gè)階梯：直接的、變式的、探討的、綜合的。在教學(xué)過(guò)程中，要根據(jù)不同梯次的特點(diǎn)，選擇適合內(nèi)容的教學(xué)方法，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

3.改進(jìn)教學(xué)方法

3.1運(yùn)用“對(duì)比法”教學(xué)

用對(duì)比的方式來(lái)剖析高等數(shù)學(xué)中的概念，提高教學(xué)效果，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。此外，在教學(xué)中還可以通過(guò)對(duì)新舊知識(shí)的對(duì)比、正確與錯(cuò)誤的對(duì)比、公式間的對(duì)比、不同解題方法之間的對(duì)比等方法，提高教學(xué)效果。

3.2重視“直觀式”教學(xué)

高職數(shù)學(xué)教學(xué)以應(yīng)用為目的，以夠用為度，教師應(yīng)盡量運(yùn)用猜想、畫圖、類比等直觀性教學(xué)法，將高等數(shù)學(xué)抽象的理論直觀化、簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生易于理解和接受。

3.3加強(qiáng)“應(yīng)用性”教學(xué)

在教學(xué)中，讓學(xué)生更多地了解數(shù)學(xué)在他們專業(yè)課當(dāng)中的作用，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)可以解決他們的專業(yè)問(wèn)題。如，在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，經(jīng)濟(jì)管理類的學(xué)生要以介紹邊際的概念與例子，而機(jī)電類專業(yè)可以介紹速率、線密度等的概念與例子。

4.更新教學(xué)手段

除了運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)手段外，應(yīng)有選擇地運(yùn)用多媒體教學(xué)，通過(guò)直觀、形象的多媒體教學(xué)可以使學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)迅速理解、掌握、獲取更多知識(shí)和信息。此外，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)充分發(fā)揮教學(xué)網(wǎng)站的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)手段，教師可以在教學(xué)網(wǎng)站這個(gè)平臺(tái)上展示高等數(shù)學(xué)與各個(gè)專業(yè)的聯(lián)系及各種教學(xué)素材（教學(xué)課件、習(xí)題解答等），增加師生交流與溝通。

總之，無(wú)論是改進(jìn)教學(xué)方法，還是更新教學(xué)手段，其最終目的都是為了使授課結(jié)果滿足學(xué)生的合理需求。要做到授課結(jié)果切實(shí)滿足學(xué)生合理的需求，需要關(guān)注學(xué)生的不同需求，采用靈活的教學(xué)形式，使學(xué)生通過(guò)教師的講授、討論，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提高自信心、主動(dòng)性和分析思考能力；需要打破傳統(tǒng)教法瓶頸，開拓教學(xué)方法新路，讓教師“變主動(dòng)為被動(dòng)”，讓學(xué)生“變被動(dòng)為主動(dòng)”[3]。從而真正達(dá)到提高高職數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，服務(wù)于高職教育的教學(xué)目標(biāo)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]高志亮.系統(tǒng)工程方法論[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社.2004：12.

篇(7)

【關(guān)鍵詞】過(guò)程數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教育不等同于傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，它不僅給學(xué)生提供了一種科學(xué)語(yǔ)言、一門知識(shí)，更應(yīng)當(dāng)是一種思想方法，是陶冶情操、訓(xùn)練心智的一種工具。數(shù)學(xué)學(xué)者何良仆曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教育中重要的問(wèn)題，不是教什么題材，而是教給學(xué)生更珍貴的東西——如何掌握題材。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值不在于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，主要在于“數(shù)學(xué)過(guò)程”。

一、對(duì)“數(shù)學(xué)過(guò)程”的認(rèn)識(shí)

“數(shù)學(xué)過(guò)程”是一個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)教育的核心概念。它主要是對(duì)一系列思維活動(dòng)過(guò)程的概括，即：數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程；數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程；數(shù)學(xué)思想方法的探索及概括總結(jié)過(guò)程，其本質(zhì)是以“抽象——符號(hào)變換——應(yīng)用”為核心的思維過(guò)程。即數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活并用于現(xiàn)實(shí)生活這一根本，從最原始模糊而籠統(tǒng)的印象，豐富多彩的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴(yán)格的邏輯演繹推理，進(jìn)而在解決問(wèn)題中加以應(yīng)用，這就是數(shù)學(xué)過(guò)程數(shù)學(xué)過(guò)程是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的最基本、最有效的方法。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)通過(guò)長(zhǎng)期系統(tǒng)數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、邏輯性、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力的過(guò)程，它培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、科學(xué)方法、科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣、能力以及探究精神、創(chuàng)造精神和協(xié)作精神，使學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)學(xué)過(guò)程”的磨礪，在知識(shí)、智力、品質(zhì)、情感、態(tài)度和價(jià)值觀等方面得到全面發(fā)展，成為適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步的高素質(zhì)人才。

二、教學(xué)中無(wú)“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)的原因及弊端

如果學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)只為懂得某一知識(shí)的結(jié)論，而不了解事物發(fā)生、發(fā)展變化的過(guò)程，這樣的知識(shí)是殘缺不全的、是靜止的、孤立的知識(shí)。“數(shù)學(xué)過(guò)程”是數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是嚴(yán)密數(shù)學(xué)思維的必要環(huán)節(jié)，是知識(shí)內(nèi)化、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵元素。只有掌握“過(guò)程”才能將各部分的知識(shí)融為一體，舉一反三，使學(xué)生的解題能力大大提高。

“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的知識(shí)。”數(shù)學(xué)的很多概念都蘊(yùn)含了樸素的數(shù)學(xué)思想，基本上都來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生認(rèn)識(shí)這些樸素的思想應(yīng)該很容易，可事實(shí)上學(xué)生學(xué)習(xí)“課本上的數(shù)學(xué)”很困難。主要原因在于數(shù)學(xué)的學(xué)科定義高度抽象、概括，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過(guò)程，它所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學(xué)如果從這些“冰冷”的形式開始，學(xué)生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，直接學(xué)習(xí)現(xiàn)成的結(jié)論也不符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平

在有關(guān)概念、定理、法則教學(xué)時(shí)，有些教師似乎很少關(guān)注隱藏在其背后的豐富的數(shù)學(xué)過(guò)程知識(shí)，為了考試，知識(shí)體系被簡(jiǎn)單地肢解為一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)化題型覆蓋知識(shí)的作用，注重結(jié)論的使用和各種操作步驟記憶，用機(jī)械記憶和反復(fù)強(qiáng)化的方法進(jìn)行以落實(shí)知識(shí)點(diǎn)為目的的訓(xùn)練，這樣我們的數(shù)學(xué)課堂成了解題教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、態(tài)度、價(jià)值觀等心理傾向得不到相應(yīng)的發(fā)展。如果你認(rèn)真觀察比較教師發(fā)給學(xué)生的數(shù)學(xué)習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)學(xué)題不只十分樣板，各學(xué)校所提供的數(shù)學(xué)題相當(dāng)劃一。原因顯然是緊扣考試，于是不同老師給學(xué)生的數(shù)學(xué)題都十分類似，對(duì)于考試的試題，我們看到學(xué)生經(jīng)年累月身處沒有多大變化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)空間，不難想象他們漸漸會(huì)形成機(jī)械化的數(shù)學(xué)觀，也會(huì)逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

究其原因主要有兩點(diǎn)：一是教者缺少追問(wèn)學(xué)科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學(xué)生的思維特點(diǎn)與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備。對(duì)于前者，我們強(qiáng)調(diào)教師追問(wèn)為什么學(xué)習(xí)這些內(nèi)容、所學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學(xué)生的生活概念、學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)及學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備。當(dāng)教師對(duì)這兩個(gè)根源有深入的思考后就能設(shè)計(jì)出有過(guò)程的教學(xué)。

三、注重“數(shù)學(xué)過(guò)程”教學(xué)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)

要能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，教學(xué)中必須設(shè)計(jì)有過(guò)程的教學(xué)，這就要求我們的教師備課時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)概念形成、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源和原始動(dòng)力，關(guān)注學(xué)生樸素的問(wèn)題與思維過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，利用思維沖突、質(zhì)疑與障礙使學(xué)生獲得高水平理解力。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與動(dòng)機(jī)，體會(huì)到創(chuàng)造的樂趣。

注重培養(yǎng)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生在自主參與、合作探究中拓展實(shí)踐思路，不斷享受成功的體驗(yàn)，感受創(chuàng)造過(guò)程中的無(wú)限樂趣。比如在等差數(shù)列前n項(xiàng)公式中提出1+2+3+…+100=?讓學(xué)生去探索為什么高斯用(1+100)×100/2式子計(jì)算，從而真正理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的由來(lái)，注重這個(gè)“數(shù)學(xué)過(guò)程”，學(xué)生即使忘記公式，他也能推算出等差數(shù)列求和結(jié)論。