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數(shù)學(xué)模型精品(七篇)

時間:2022-07-05 14:19:55

序論:寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感,挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相,好投稿為您帶來了七篇數(shù)學(xué)模型范文,愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑,助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

馬航失聯(lián)至今為止都是一個未解開的謎團(tuán),而飛機(jī)失事也越發(fā)受到人們的關(guān)注。飛機(jī)失事后的救援工作更是重中之重,全世界都會關(guān)注救援的進(jìn)度。如何準(zhǔn)確快速的進(jìn)行搜救也就成為了一個重要的問題。

本文將整個救援問題分為三個步驟:落點確定,搜索范圍確定,搜索路徑確定。通過對每一個步驟的確定,可以匯總出一個完整的搜救方案。首先,飛機(jī)墜落時,考慮到飛機(jī)種類不同,我們綜合了飛機(jī)重量,機(jī)翼面積,升阻比等參數(shù),研究了飛機(jī)飛行高度與落點位置之間的關(guān)系,可以確定不同種類的飛機(jī)在不同高度墜落時落點的位置,對搜救工作進(jìn)行第一步的定位。第二步,飛機(jī)墜毀解體后,會有不同種類的物體掉入海中,物體在海中受到洋流,風(fēng),海浪等等因素的影響做漂移運動。我們考慮了風(fēng)和洋流對不同物體的作用不同,結(jié)合物體自身性質(zhì),研究了物體的漂移軌跡,通過風(fēng)和洋流的實時信息,可以模擬推算出物體所在區(qū)域。不同種類的物體分布在不同的區(qū)域。根據(jù)第一步的落點和這一步的物體漂移范圍可以確定搜索的區(qū)域,不同的區(qū)域運用不同的搜救設(shè)備會使搜救效率提升,比如搜索沉沒海中的物體可以用攜帶探測水下設(shè)備的飛機(jī)進(jìn)行搜救。第三步,對前面確定的區(qū)域進(jìn)行搜索,因為區(qū)域內(nèi)概率分布不均勻,所以根據(jù)區(qū)域內(nèi)的概率制定搜救路徑,使搜救效率最高,增加救援成功率。通過這種方法,我們可以較為精準(zhǔn)的確定搜救方案,方案的適用范圍較廣,模型靈敏度較高,模型可以自由調(diào)節(jié)精度。

失事飛機(jī)海上搜救問題需要抓住兩個重要因素:準(zhǔn)確性和迅速性。準(zhǔn)確性就是保證確定的搜救區(qū)域的準(zhǔn)確性,因此需要考慮飛機(jī)落點的準(zhǔn)確性和漂移軌跡的準(zhǔn)確性。因此必須盡可能多的考慮影響因素,并搜集實時的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)以保證模型的準(zhǔn)確性。迅速性就是搜索方案要保證最優(yōu),以最短的時間搜索盡可能大的范圍,搜救工作就是與時間賽跑,方案越迅速,搜救成功率越高。

飛機(jī)下降過程受到重力及斜向上的氣流阻力,氣流阻力與空氣密度有關(guān),由機(jī)下墜落差很大,空氣密度變化很大,故而需要考慮空氣密度帶來的影響。將氣流阻力及重力分解在運動軌跡切線方向及其法線方向上,產(chǎn)生切線加速度及向心加速度,建立平面直角坐標(biāo)系上的微分動力學(xué)方程,用MATLAB數(shù)值解法求解微分方程曲線,即為運動軌跡。

本文的研究可以對海上失事飛機(jī)的搜救工作起到一定參考作用。還有許多改進(jìn)的地方,我們會繼續(xù)努力完善,希望可以對失事飛機(jī)的搜救工作做出更大的貢獻(xiàn)。

篇(2)

一、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模方法

數(shù)學(xué)建模一般可以描述為,對于現(xiàn)實世界中的特定對象,為了特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律性,作出一些必要簡化假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模在國民經(jīng)濟(jì)和社會活動許多方面,如分析與設(shè)計、預(yù)報與決策、控制與優(yōu)化、規(guī)劃與管理,都有大量應(yīng)用。

數(shù)學(xué)建模是理論與實踐相聯(lián)系的橋梁,有利于培養(yǎng)大學(xué)生實踐能力和綜合素質(zhì)。探索其它數(shù)學(xué)課程面向?qū)嵺`的教學(xué)方法,進(jìn)一步提高大學(xué)生實踐能力,對激發(fā)大學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,有著重要意義。

數(shù)學(xué)期望是概率論中的一個重要概念,應(yīng)用較廣泛。在教學(xué)過程中引入實際問題,如風(fēng)險型決策、保費計算、存取模型等,引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)期望等數(shù)學(xué)知識研究解決,取得了較好的教學(xué)效果。

一些在日常生活中很常見的現(xiàn)象,也可以用數(shù)學(xué)模型的方法加以分析。人們帶一大筆現(xiàn)金出門,有些人可能會放在一個地方,有些人可能會分開放。就這個現(xiàn)象,我要求學(xué)生說說自己的觀點并分析。

僅僅從期望的角度出發(fā),學(xué)生很容易得到,這些現(xiàn)金放一個最安全的地方最好。但有學(xué)生從感覺上認(rèn)為分開放比較好,希望知道原因。

這個問題涉及效用理論。事實上,人的思維并不是完全數(shù)學(xué)性的,例如,獲得10000元與二分之一機(jī)會獲得25000元兩個選項,從期望角度,當(dāng)然后一選項較好,但很多人會選擇前一選項。

帶1萬元現(xiàn)金出門,損失1萬元相比損失一半,不僅是數(shù)值上的2倍,更有現(xiàn)金全部損失的一系列嚴(yán)重后果。可以考慮用一個指標(biāo)來說明這種考慮包含現(xiàn)金數(shù)損失并考慮其他因素的損失程度。

學(xué)生很快就這個問題建立了數(shù)學(xué)模型。

帶有1萬元現(xiàn)金,比較兩種方案:

方案1:放在一個最安全的地方。

方案2:平分兩半放兩個地方。

兩個地方現(xiàn)金損失概率分別為p1、p2,p1<p2。

方案1的損失期望E1=p1。

方案2的損失期望E2= (p1+p2)。

僅從期望角度,方案1較好。

下面考慮損失效用,記損失1萬元及0.5萬元的損失程度分別為:

u1、u2,u1>2u2

方案1的損失預(yù)期效用EU1=p1u1。

方案2的損失預(yù)期效用EU2=p1u2+p2u2。

如果 ,則方案2較好;如果 ,則方案1

較好。

二、彩票模型

1.引入效用函數(shù)

記彩票各獎項的獎金為m1,m2,…,mn。

中獎概率為p1,p2,…,pn。

引入一個合適的效用函數(shù)u(x)。

則獎金的預(yù)期效用EU= u(mk)pk。

這個模型中效用函數(shù)的確定是關(guān)鍵。

研究認(rèn)為,當(dāng)獲利較小時,人們屬于風(fēng)險喜好型;當(dāng)獲利到達(dá)一定數(shù)額后,人們會轉(zhuǎn)變?yōu)轱L(fēng)險厭惡型。并且從風(fēng)險喜好到風(fēng)險厭惡的轉(zhuǎn)折點與個人財富相關(guān),財富越多轉(zhuǎn)折點越高。

由此可以定義一個S形的效用函數(shù):

u(x)=1-

其中參數(shù)σ可以依照收入水平確定,如某人年平均收入為5萬元,取30年總收入150萬元的效用為0.95,可以確定這個參數(shù)。

更細(xì)致的方法是將彩民分為冒險型、中立型和避險型,并調(diào)查三類人數(shù)占彩民總數(shù)的比例,采用加權(quán)平均的方法,得到一個體現(xiàn)彩票吸引力的綜合指標(biāo)。

設(shè)冒險型、中立型和避險型彩民的效用函數(shù)為:

ui(x)=1- ,x≥0,i=1,2,3。

三類彩民占彩民總數(shù)的比例為r1,r2,r3,定義彩票吸引力函數(shù)為:

f= ui(x)ri

通過比較這個指標(biāo),可以說明不同彩票的吸引力,也能說明人們購買彩票的動力。

但下面的例子很難用效用方法做出解釋。商家在顧客購買商品后提供兩個方案進(jìn)行促銷活動:

方案1:優(yōu)惠5%。

方案2:從10黑10白圍棋子中摸取10個,如果全是黑的或全是白的,則同樣商品再免費送一件。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)還是有人選擇方案2,通過計算發(fā)現(xiàn)方案2的優(yōu)惠率約為十萬分之一,也就是1000元的商品優(yōu)惠1分錢。如果直接說1000元的商品優(yōu)惠1分錢,恐怕沒有人會選擇,選擇方案2的原因在于概率誤判。當(dāng)人們遇到較小概率時,在感覺上會誤認(rèn)大些,而且越小的概率相對誤判程度越大。當(dāng)然對接近1的概率,與1的差距也會同樣誤判。

分析這個例子后,學(xué)生給出了彩票問題相應(yīng)的模型。

2.引入概率誤判函數(shù)

記彩票各獎項的獎金為m1,m2,…,mn。

中獎概率為p1,p2,…,pn。

引入一個合適的概率誤判函數(shù)w(x)。

則獎金的誤判期望EW= mkw(pk)。

心理學(xué)研究表明,人們傾向于高估低概率事件的出現(xiàn),低估高概率事件的出現(xiàn);高估有利事件的出現(xiàn),低估不利事件的出現(xiàn)。概率誤判函數(shù)w(x)可以根據(jù)這個研究來確定。

假設(shè)彩民對概率0,0.5,1不會產(chǎn)生誤判,對接近0和1的概率會誤判,而且越接近0誤判程度越大,越接近1對概率與1的差誤判程度越大。

定義概率誤判函數(shù):

當(dāng)0<x≤0.5時,誤判系數(shù)為 ,假設(shè)某彩民將0.001

的概率誤判為0.01,即誤判系數(shù)為10,可以通過誤判系數(shù)確定誤判函數(shù)中的參數(shù):

=10

篇(3)

北美電力可靠性公司(NorthAmericanElectricReliabilityCorporation)提出了一個關(guān)于建模、數(shù)據(jù)和分析的可靠性標(biāo)準(zhǔn),其中關(guān)于發(fā)電機(jī)、勵磁系統(tǒng)及原動機(jī)模型參數(shù)驗證的標(biāo)準(zhǔn)為MOD26和MOD27[1]。該標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為,為了使得電力系統(tǒng)安全運行及規(guī)劃研究的結(jié)果具有可信度,必須定期(每隔5a)進(jìn)行常規(guī)的發(fā)電機(jī)、勵磁系統(tǒng)、原動機(jī)與調(diào)速器模型驗證和測試。該標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)化了機(jī)組參數(shù)定期測試的必要性和重要性。當(dāng)前有關(guān)于發(fā)電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)的辨識方法,大多是在發(fā)電機(jī)離線的情況下,通過實驗的方法,給發(fā)電機(jī)系統(tǒng)加入外部激勵信號,記錄發(fā)電機(jī)系統(tǒng)在此輸入信號作用下的輸出曲線,進(jìn)而辨識出系統(tǒng)的參數(shù)[2-5]。文獻(xiàn)[6-8]實現(xiàn)了基于現(xiàn)場階躍實驗的勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識。文獻(xiàn)[9-12]通過快速傅里葉變換(FFT)將時域信號轉(zhuǎn)換到頻域,再利用最小二乘法(LSM)原理辨識出勵磁系統(tǒng)的模型參數(shù)。上述文獻(xiàn)對于非線性環(huán)節(jié)的估計基本上均是基于經(jīng)驗公式進(jìn)行。為了實現(xiàn)對非線性環(huán)節(jié)更準(zhǔn)確的估計及辨識,文獻(xiàn)[13-21]提出了基于遺傳算法及蟻群算法的參數(shù)辨識。上述方法均是通過人為添加外部擾動信號并記錄各個模塊及系統(tǒng)的輸出,然后通過曲線擬合的方式辨識出相應(yīng)模塊及系統(tǒng)的參數(shù)。該種方法的優(yōu)點較明顯,即可以對任意環(huán)節(jié)進(jìn)行相應(yīng)的測試,但也存在相應(yīng)的缺點:a.比較繁瑣,且由于要人為地在系統(tǒng)的特定環(huán)節(jié)引入外加信號,可能會給機(jī)組帶來一定的潛在傷害;b.該實驗只能在機(jī)組離線的方式下進(jìn)行,因此會影響機(jī)組的正常運行;c.機(jī)組某些參數(shù)在帶載和離線運行時并不完全一樣,通過實驗方式獲得的機(jī)組離線參數(shù),相對于機(jī)組在線運行而言,只能是近似的,而更準(zhǔn)確的參數(shù)應(yīng)該是在機(jī)組在線運行狀態(tài)下測試所獲得的參數(shù)。近年來,由于相量測量單元PMU(PhasorMea-surementUnit)技術(shù)的發(fā)展,電氣量的在線測量和記錄技術(shù)已經(jīng)比較成熟。文獻(xiàn)[22]提出了基于PMU的功角測量的在線頻率響應(yīng)辨識方法,但當(dāng)待辨識參數(shù)為同步電機(jī)的基本參數(shù)時,q軸參數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù),故存在解不能唯一確定的問題。文獻(xiàn)[23]提出了基于PMU的勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識,該方法通過PMU所記錄的機(jī)端電壓、電流及勵磁電壓、電流等電氣量,建立發(fā)電機(jī)與勵磁系統(tǒng)的解耦方程組,利用PMU所記錄的電氣量時間序列數(shù)據(jù),對該模型進(jìn)行辨識而得到勵磁系統(tǒng)參數(shù)。該方法相對于通過實驗來實現(xiàn)機(jī)組參數(shù)辨識的方法簡單了許多。由于PMU系統(tǒng)比較昂貴,且并非所有機(jī)組所在母線均裝設(shè)相應(yīng)單元,只是在關(guān)鍵機(jī)組及變電站處裝設(shè),所以若只單純地依靠它的量測數(shù)據(jù),很難實現(xiàn)所有機(jī)組參數(shù)的在線測試。而每臺機(jī)組均裝設(shè)故障錄波器DFR(DigitalFaultRecorder),當(dāng)它感覺到系統(tǒng)發(fā)生故障時,就自動把故障發(fā)生前后一段時間該臺機(jī)組的所有電氣量以毫秒級頻率記錄下來。因此,本文提出基于DFR的機(jī)組參數(shù)在線參數(shù)辨識方法,以實現(xiàn)所有機(jī)組參數(shù)的測試。

1基于DFR的機(jī)組參數(shù)辨識過程

1.1DFR簡介DFR在電力系統(tǒng)或機(jī)組發(fā)生故障或振蕩時自動記錄裝置安裝處的各種信息。安裝在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中的DFR,記錄包括節(jié)點電壓、電流、有功功率、無功功率及系統(tǒng)頻率在系統(tǒng)波動期間的變化全過程;而安裝在發(fā)電機(jī)節(jié)點處的DFR,記錄包括機(jī)端電壓、機(jī)端電流、有功功率、無功功率、機(jī)組轉(zhuǎn)速、勵磁電壓和勵磁電流等相關(guān)數(shù)據(jù)在系統(tǒng)波動及機(jī)組故障期間的變化全過程。所記錄的數(shù)據(jù)主要用于故障后對事故原因的分析。錄波器主要包括采集模塊和管理分析模塊。采集模塊主要完成錄波數(shù)據(jù)的采集、分析計算、錄波啟動判別等;管理分析模塊主要完成數(shù)據(jù)的記錄、分析和管理,故障類型分析,故障定位和故障再現(xiàn)等功能[24-25]。裝置的原理框圖如圖1所示。圖1中的核心控制器通過對故障前后各種電氣量的變化情況進(jìn)行分析和比較,判斷系統(tǒng)是否發(fā)生故障,從而決定是否啟動數(shù)據(jù)的記錄過程。故障錄波器的采樣頻率一般在1~10kHz之間,并且采用分段記錄方式:記錄擾動前的狀態(tài)數(shù)據(jù)不少于0.04s;擾動初期數(shù)據(jù)記錄不少于0.1s;擾動中期數(shù)據(jù)記錄不少于1.1s。

1.2基于DFR的參數(shù)辨識流程發(fā)電機(jī)系統(tǒng)包括發(fā)電機(jī)、勵磁系統(tǒng)、原動機(jī)及調(diào)速器,各模塊之間的調(diào)節(jié)和控制關(guān)系可以用圖2表示。當(dāng)DFR把系統(tǒng)擾動(或故障)期間機(jī)組的所有相關(guān)參數(shù)記錄之后,依據(jù)圖2所示的各個模塊之間的關(guān)系,以各個模塊待辨識參數(shù)為控制變量,分別建立各個模塊的數(shù)學(xué)模型,采用優(yōu)化和數(shù)據(jù)匹配的方式,得到各個模塊待辨識參數(shù)。其過程如圖3所示。

2用于機(jī)組參數(shù)辨識的子系統(tǒng)建模方法

2.1發(fā)電機(jī)模塊相關(guān)變量符號說明如下:ra為定子繞組電阻;xd、對于發(fā)電機(jī)而言,待辨識的參數(shù)包括ra、xd、xq、x′d、x′q、xd″、xq″、τd′0、τq′0、τd″0、τq″0。描述發(fā)電機(jī)動態(tài)過程的微分代數(shù)方程組是7階Park方程組;輸入數(shù)據(jù)是機(jī)組轉(zhuǎn)速ω、勵磁電壓Efd、機(jī)端d軸電流id、機(jī)端q軸電流iq;輸出數(shù)據(jù)是機(jī)端電壓ut。它們的關(guān)系如圖4所示。故障錄波器實際測量到的是a、b、c三相機(jī)端電流it及電壓ut,并不是機(jī)端d軸、機(jī)端q軸電流(id、iq);所以,首先要對測量到的機(jī)端電流進(jìn)行如下的abc-dq坐標(biāo)變換(機(jī)端電壓的變換與之類似),即:

2.2勵磁系統(tǒng)模塊對于實際的勵磁系統(tǒng),其型式及結(jié)構(gòu)眾多。本文以BPA軟件所能處理的11種模型(包括FA、FB、FC、FD、FE、FF、FG、FH、FJ、FK、FL)作為辨識對象。下面以FA型勵磁系統(tǒng)的建模為例說明建模過程。FA型勵磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖如圖5所示。根據(jù)圖5所示的傳遞函數(shù)框圖,在Us信號能夠量測或算得之后,分別寫出每一個環(huán)節(jié)的微分方程,再離散化為代數(shù)方程,最后將各個環(huán)節(jié)的代數(shù)方程聯(lián)立,就獲得了勵磁系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

2.3原動機(jī)與調(diào)速器模塊本文以IEEE1981版GS型調(diào)速器模型和TA型原動機(jī)模型的建模為例說明其建模過程。傳遞函數(shù)框圖分別如圖6、圖7所示。以下的推導(dǎo)基于P0信號可以量測得到。

3基于優(yōu)化技術(shù)的機(jī)組參數(shù)辨識

3.1參數(shù)辨識策略若把分別用式(8)、式(17)及式(33)表示的發(fā)電機(jī)模塊、勵磁系統(tǒng)模塊及調(diào)速器模塊等的輸入/輸出關(guān)系中的待辨識參數(shù)用向量x表示,輸入變量用向量u表示,輸出變量用向量z表示,輸入和輸出之間的關(guān)系用函數(shù)f(•)表示,則其關(guān)系可記為:

3.2PSO算法簡介[26]PSO算法的思想是將每個個體看作是在D維搜索空間中的一個沒有重量和體積的粒子,每個粒子代表搜索空間的一個候選解,所有的粒子都有一個由優(yōu)化問題決定的適應(yīng)值,及粒子飛行方向和距離。在給定誤差閾值,迭代次數(shù)上限,慣性權(quán)重w,學(xué)習(xí)因子c1、c2,以及相互獨立的隨機(jī)數(shù)r1、r2等相關(guān)參數(shù)之后,通過迭代不斷地更新粒子的位置和速度,使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到給定的誤差閾值或者迭代次數(shù)到達(dá)給定迭代次數(shù)上限,而得到最優(yōu)解。

4應(yīng)用實例

本文應(yīng)用上述辨識方法,利用天津大港電廠某一臺發(fā)電機(jī)的DFR數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的機(jī)組參數(shù)辨識計算,以驗證算法的正確性。大港電廠的DFR所記錄的數(shù)據(jù)包括:三相定子電壓和電流;三相有功和無功功率;頻率;勵磁電流和勵磁電壓。2006年7月,大港電廠1號機(jī)組勵磁系統(tǒng)發(fā)生TV一次側(cè)斷線,最終導(dǎo)致機(jī)組解列。DFR記錄此次事故的整個過程,該記錄中的數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)幺轉(zhuǎn)換之后波形如圖9—11所示,圖中,縱坐標(biāo)均為標(biāo)幺值,分別為機(jī)端電壓ut、有功功率P、勵磁電壓uf。大港電廠1號機(jī)組的發(fā)電機(jī)采用7階模型;其在本文算例的辨識過程中,為了使得辨識結(jié)果具有推廣性,用于辨識的輸入輸出數(shù)據(jù)對均保持3倍的冗余度,即為待辨識參數(shù)的3倍。辨識優(yōu)化過程的各參數(shù)初值為制造產(chǎn)家提供的數(shù)值。試驗機(jī)器配置如下:CPU,1200MHz;RAM,376MB。分別將經(jīng)辨識得到的參數(shù)、廠家提供的初始參數(shù),代入相應(yīng)的勵磁系統(tǒng)及發(fā)電機(jī)模型,分別得到經(jīng)辨識之后的機(jī)組機(jī)端電壓輸出和廠家參數(shù)未辨識輸出,并與相應(yīng)的實測數(shù)據(jù)畫在同一圖中進(jìn)行對比。發(fā)電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)的辨識對比結(jié)果如圖12所示,輸入數(shù)據(jù)是機(jī)組轉(zhuǎn)速ω、勵磁電壓Efd、機(jī)端d軸電流id、機(jī)端q軸電流iq;輸出數(shù)據(jù)是機(jī)端電壓ut。勵磁系統(tǒng)的辨識對比結(jié)果如圖13所示,輸入是機(jī)端d軸電流id、機(jī)端q軸電流iq;輸出數(shù)據(jù)是勵磁電壓Efd。將發(fā)電機(jī)模塊與勵磁系統(tǒng)模塊綜合起來視為一個整體(此處稱之為整體系統(tǒng)),即以勵磁系統(tǒng)的輸入為輸入,以機(jī)端電壓為輸出,并分別利用廠家給的參數(shù)所做出的輸出(即未辨識輸出)和實測曲線進(jìn)行對比,其對比曲線如圖14所示。從圖12—14可以看出,采用經(jīng)過辨識后的參數(shù),其仿真輸出的結(jié)果明顯更加接近實測曲線;從而表明需要指出的是,因大港電廠無法提供原動機(jī)及調(diào)速器傳遞函數(shù)中相關(guān)參數(shù)的出廠或試驗參數(shù),故本文無法進(jìn)行相應(yīng)的辨識。因其辨識過程與勵磁系統(tǒng)及發(fā)電機(jī)模塊的相關(guān)參數(shù)完全一樣,因此,只要有相應(yīng)參數(shù)的初始值,預(yù)期采用DFR錄波一樣可以完成其辨識,并能取得與勵磁系統(tǒng)及發(fā)電機(jī)系統(tǒng)類似的辨識效果。

篇(4)

【關(guān)鍵詞】活動課有效生活性實用性

一、確立“數(shù)學(xué)模型”的現(xiàn)實意義

數(shù)學(xué)教學(xué)就是在一定基礎(chǔ)上進(jìn)行對數(shù)學(xué)知識模型的建立及其方法的應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型化是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想方法。對于學(xué)生學(xué)習(xí)和處理數(shù)學(xué)問題有著極其重要的影響,它可以幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的作用,產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此,建構(gòu)和掌握數(shù)學(xué)模型化方法,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、實踐能力的一種最有效的途徑。

數(shù)學(xué)模型是建立在數(shù)學(xué)一般的基礎(chǔ)知識與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識之間的一座重要的橋梁,建立數(shù)學(xué)模型,就是指從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、展開思考,通過新舊知識間的轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去,再綜合運用已有的數(shù)學(xué)知識與技能解決這一類問題。這是在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生所具備的一種數(shù)學(xué)思想和方法。就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實際問題的思想和方法。學(xué)生在探索、獲得數(shù)學(xué)模型的過程中,也同時獲得了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、解決實際問題的思想與方法,而這對學(xué)生的發(fā)展來說,其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不僅包括學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐體驗中的思想情感、態(tài)度與價值觀,更重要的是轉(zhuǎn)化思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、符號化思想、對應(yīng)思想、分類思想、歸納思想、模型思想、統(tǒng)計思想等。數(shù)學(xué)最主要的思想是歸納思想和演繹思想,要重點培養(yǎng)學(xué)生的探究成因、預(yù)測未來、舉一反三、觸類旁通的能力和思想。

二、巧方法找途徑建模型

小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、定律、公式等都是一個個數(shù)學(xué)模型,如何使學(xué)生通過建模形成數(shù)學(xué)模型?其中一條很重要的途徑就是把生活原型上升為數(shù)學(xué)模型。因為生活原型中揭示的“事理”是學(xué)生的“常識”,但是“常識”還不是數(shù)學(xué),“常識要成為數(shù)學(xué),它必須經(jīng)過提煉和組織,而凝成一定的法則……”,所以要使“事理”上升為“數(shù)理”還需要有一個模型化的過程。

(一)、創(chuàng)設(shè)情境,誘發(fā)問題。

教師有目的、有意識地創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造意識的各種情境,促使學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑問題、探索求解的學(xué)習(xí)動機(jī)。

1.問題情境設(shè)置的途徑。促使學(xué)生原有的知識與必須掌握的新知識發(fā)生激烈沖突,使學(xué)生意識中的矛盾激化,從而產(chǎn)生問題情境。

2.問題呈現(xiàn)形式多樣化??捎山處熖岢鰡栴},也可教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題,但必須讓學(xué)生明確問題解決的目標(biāo),激發(fā)問題解決的動機(jī),充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用。

3.問題的提出要針對學(xué)生實際。問題的引入力求趣味、新奇、有針對性,能夠誘導(dǎo)、啟發(fā)、激活學(xué)生頭腦中潛在的知識,使之服務(wù)于問題的解決,最大限度地調(diào)動學(xué)生的求知欲。

(二)、成功導(dǎo)學(xué),構(gòu)建模型。

學(xué)生在老師的鼓勵和指導(dǎo)下自主探究解決實際問題的途徑,進(jìn)行自主探索學(xué)習(xí),把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即將實際問題數(shù)學(xué)化。建模過程是學(xué)生的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn)。

1.教師導(dǎo)學(xué)是構(gòu)建模型的前提。從導(dǎo)思、導(dǎo)議、導(dǎo)練入手,結(jié)合學(xué)生心理特征和認(rèn)知水平,提出的啟發(fā)性問題,不宜過于簡單又不能超過學(xué)生的實際水平。

2.老師要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里,把分散的、現(xiàn)象的、感性的問題上升到理性并納入到所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)的軌道上來,從而形成集體求索的態(tài)勢。

3.提出一個或幾個問題之后,要給學(xué)生思考的時間,如何“跳”才能“摘到果子”。這樣,他們解決問題的能力會更強(qiáng)些。

(三)、逐層探究,求解結(jié)果。

教師在點撥導(dǎo)、引導(dǎo)學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步組織深層探究,求解數(shù)學(xué)問題。要讓學(xué)生敘述解決數(shù)學(xué)問題的過程,交流解決問題的經(jīng)驗,從而達(dá)到解決問題、形成解決問題策略的目的。

1.學(xué)生交流討論的過程是學(xué)生之間、師生之間的多邊互動的過程,應(yīng)最大限度地調(diào)動學(xué)生的積極性,提高學(xué)生的參與程度。充分發(fā)表各自的意見,實施開放性思維。通過相互交流合作,綜合比較,達(dá)到既求解問題又培養(yǎng)能力的目的。

2.教師要指導(dǎo)問題求解的策略,要組織好交流活動,使學(xué)生盡情地交流求解問題的經(jīng)驗,相互補(bǔ)充,完善表述,形成策略。同時要把握好“收”與“放”的關(guān)系,放開以各抒己見,收攏以達(dá)到相對統(tǒng)一的認(rèn)識,使學(xué)生的認(rèn)識系列化、規(guī)范化。

(四)、聯(lián)系實際,檢驗結(jié)果。

求得數(shù)學(xué)模型的解,并非問題得到解決,要結(jié)合實際,將求得的數(shù)學(xué)結(jié)果放到實際情境中去檢驗,看其是否實際結(jié)果。

通過深層探究,求得數(shù)學(xué)結(jié)果已是教師與學(xué)生的共識,但結(jié)合實際、檢驗結(jié)果,是教學(xué)時常忽視的地方,其原因之一,是教材中大量提供是已經(jīng)過加工、合理的素材,缺乏檢驗的必要性。因此關(guān)鍵再于教師的引導(dǎo)和重視。

(五)、問題解決,評價反思。

教師對教學(xué)活動的效果進(jìn)行評價,既要評價知識的掌握、技能的習(xí)得,及時引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié),理出知識網(wǎng)絡(luò),形成知識結(jié)構(gòu),達(dá)成對知識內(nèi)化的轉(zhuǎn)化;更要評價解決問題的方法,重在引導(dǎo)學(xué)生反思解決問題的過程,歸納解決問題的方法和策略。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中實施“數(shù)學(xué)模型”的具體方法

(一)創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)建模興趣。

數(shù)學(xué)模型都具有現(xiàn)實的生活背景,這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決實際問題的需要。如構(gòu)建“統(tǒng)一長度單位”模型時,可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境:讓學(xué)生用身邊熟悉的鉛筆、文具盒、小刀、橡皮等長短不一的物體量數(shù)學(xué)書的長度,結(jié)果學(xué)生量出的數(shù)據(jù)各種各樣,誰也不知道數(shù)學(xué)書的具體長度,這時需要尋求一種新的策略,于是構(gòu)建“統(tǒng)一長度單位”的模型成為學(xué)生的需求,同時也揭示了模型存在的背景與適用的條件。

篇(5)

關(guān)鍵詞:模型思想;數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)思想

新課程改革中著重說明,“數(shù)與代數(shù)”中模型是一項非常重要的內(nèi)容,其與函數(shù)、方程組、方程、不等式等都同屬于基本的數(shù)學(xué)模型;基礎(chǔ)教育的目的就是要讓學(xué)生通過親身體驗將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型,以便解決和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型這一數(shù)學(xué)理念,有利于學(xué)生充分了解數(shù)學(xué),讓價值觀、情感態(tài)度與思維能力等不同方面得到相應(yīng)的發(fā)展與進(jìn)步。這就要求把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程看作是建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會,在建立數(shù)學(xué)模型的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,讓學(xué)生能夠自覺運用數(shù)學(xué)方法解決、分析生活中的問題。本文主要探討什么是數(shù)學(xué)模型,如何培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想。

一、數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型指的是對照某一種事物的數(shù)量或特點之間的相互關(guān)系,通過運用形式化的數(shù)字語言進(jìn)行概括的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。就某種意義而言,數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系、性質(zhì)、法則、概念、方程、公式等都能稱為數(shù)學(xué)模型。如數(shù)學(xué)中的三角形,是自然界中最穩(wěn)固的形狀,我們可以在自行車上看到三角形的應(yīng)用,自行車的橫梁與兩個車輪之間構(gòu)成一個牢固的三角形,這些都能反映事物都是一個擁有共性的數(shù)學(xué)模型,能夠描繪現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)模型具有精確化、典型化與一般化的特點。

模型思想即對于需要解決的問題,創(chuàng)建相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,通過研究數(shù)學(xué)模型從而解決現(xiàn)實中的實際問題的一種數(shù)學(xué)思想方式?!澳P突睌?shù)學(xué)思想是重大數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)中最受關(guān)注的一種,所以在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中建立模型思想成為了刻不容緩的教學(xué)任務(wù)。

二、培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的相關(guān)策略

新課程改革明確要求教師在教學(xué)過程中指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,不僅僅要注重建模的結(jié)果,還要重視學(xué)生自行建立數(shù)學(xué)模型的方法,使得學(xué)生能夠在自己的探索與實踐中有效、合理、科學(xué)地建立起數(shù)學(xué)模型。

1.感知建模法

所有的活動都是由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識的過程,況且小學(xué)階段正處于學(xué)生感性認(rèn)識的發(fā)展時期。模型構(gòu)建的過程實質(zhì)上就是一個不斷積累、感知的過程。一些感性的材料能夠幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。因此,教師要為學(xué)生提供多樣的感性材料,讓學(xué)生能夠全方位、多角度來感知事物的數(shù)量與特征的關(guān)系,為準(zhǔn)確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

例1:湊十法。在學(xué)習(xí)初步算法的時候,可以運用“湊十法”,先學(xué)習(xí)“9+( )=10”的算法,然后使用半扶半放的方法學(xué)習(xí)“8+( )=10、7+( )=10”的算法,進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生感知“湊十法”適用的范圍不僅僅局限于這些。隨后,分別學(xué)習(xí)“6+( )=10、5+( )=10、4+( )=10”等一系列的算法。在這個過程當(dāng)中,學(xué)生體會了操作、觀察、實踐等活動,了解了“湊十法”的意義,從而為構(gòu)造“湊十法”數(shù)學(xué)模型打下良好的基礎(chǔ)。

2.總結(jié)建模法

無論是建立數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題,還是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,其關(guān)鍵都在于靈活運用數(shù)學(xué)思想方法,因為數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)就是要靈活運用數(shù)學(xué)模型思想。解決生動具體的問題或情境,僅僅能夠使得學(xué)生可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建,但若要想提高理性高度,則需要重視總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法,這樣才能更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思想。

例2:計算梯形圖形。在講授梯形圖形面積的時候,教師不能直接將歸納好的知識點告訴學(xué)生,而是要讓學(xué)生使用準(zhǔn)備好的紙板進(jìn)行拼湊、折疊、剪補(bǔ)等操作,讓學(xué)生自己去尋找梯形面積要如何計算。在此過程中,學(xué)生會將梯形的面積轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)過的三角形或者長方形的面積進(jìn)行計算。此時,教師將學(xué)生各種計算方法進(jìn)行整理歸納,從而就能推導(dǎo)出計算梯形的面積公式,在構(gòu)建面積公式模型的過程中要突出數(shù)學(xué)模型思想,即極限思想與將未知轉(zhuǎn)變?yōu)橐延兄R這兩種數(shù)學(xué)模型思想。教師要指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地運用已有知識解決新知識,使得學(xué)生在研究中,體會到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個有趣的過程,讓其學(xué)會主動總結(jié)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

3.興趣建模法

在教學(xué)過程中,教師可提出有助于學(xué)生思維發(fā)展的問題,從“問題”開始著手,讓學(xué)生思考“問題”,學(xué)習(xí)“問題”,用這種方法激發(fā)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的興趣。

例3:計算圓的周長。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識水平,了解學(xué)生的知識范圍和知識掌握的程度,提出問題:“如果現(xiàn)在讓你設(shè)計一個試驗,來檢驗圓的直徑與周長之間的倍數(shù)關(guān)系,你會設(shè)計什么試驗?zāi)??”這時,學(xué)生會拿出準(zhǔn)備好的繩子和圓形卡紙分小組進(jìn)行探討,即可得出圓的周長與直徑存在數(shù)量關(guān)系,前者是后者的3倍多。教師的提問引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向思考,激發(fā)了學(xué)生刨根問底的興趣,學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行了熱烈的交流與積極的思考。

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篇(6)

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)模型;極限;連續(xù)

中圖分類號:G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1006-4311(2012)07-0203-01

1數(shù)學(xué)分析課程的現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系最重要的一門基礎(chǔ)課,也是學(xué)習(xí)今后數(shù)學(xué)系大部分課程的臺階,是初學(xué)時比較難的一門課,這里的難主要是對數(shù)學(xué)分析思想和方法的不適應(yīng)。過去由于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,隨著課程的深入會逐漸容易起來,最終能夠掌握這門關(guān)鍵的基礎(chǔ)課程,也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)鋪平了道路?,F(xiàn)在由于高校的擴(kuò)招,學(xué)生的素質(zhì)呈下降趨勢,如果還依照的傳統(tǒng)的教學(xué)模式,先講解定義、再講定理證明,最后進(jìn)行公式推導(dǎo)和總結(jié)大量的計算方法與技巧,而忽視利用數(shù)學(xué)分析的思想和方法來解決實際問題。正如李大潛院士指出的那樣:“過于追求體系的天衣無縫,過于追求理論的完美和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn),忘記了數(shù)學(xué)從何處來、又向何處去這個大問題,把數(shù)學(xué)構(gòu)建成一個自我封閉、因而死氣沉沉的王國。

我系曾對學(xué)生做過關(guān)于數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的問卷調(diào)查,回答“對數(shù)學(xué)分析有何印象或感覺”時,57.2%的認(rèn)為數(shù)學(xué)分析難,且比較枯燥。在問及是否對提高思維能力有幫助,只有有不到一半的人認(rèn)為有,但不是很明顯,大部分的認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析對解決實際問題意義不大。超過半數(shù)的學(xué)生坦言“討厭數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)太難”“最怕函數(shù)”。長此以往,使得學(xué)生越來越覺得數(shù)學(xué)枯燥無味,雖然學(xué)了一定的數(shù)學(xué)知識,但體會不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,最終失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,這對學(xué)習(xí)后續(xù)課程非常不利,影響學(xué)生的發(fā)展,也使得數(shù)學(xué)這個自然科學(xué)的王冠在學(xué)生中失去了原有的魅力。

2如何在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模是一門實踐性很強(qiáng)的學(xué)科課,與其它的數(shù)學(xué)系主干課程有很大區(qū)別,涉及到廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域,如物理學(xué),力學(xué),工程學(xué),生物,醫(yī)學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)等,把對學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題能力的培養(yǎng)作為主要任務(wù),需要學(xué)生能夠靈活運用各種數(shù)學(xué)知識,它從解決生活中實際問題開始,先把問題和數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識聯(lián)系起來,再通過數(shù)學(xué)方法解決這個問題,最后在應(yīng)用到實際問題中去。

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,引入數(shù)學(xué)模型不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,同時也有助于學(xué)生從另一方面來理解數(shù)學(xué)的定理和定義。例如在函數(shù)的連續(xù)性這一章中,零值定理是一個很重要的結(jié)論,在教材中主要用來判別方程根的存在性,而在實際生活中有的作用學(xué)生并不清楚,在這里可以引入一個數(shù)學(xué)模型:椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,通過利用零值定理,滿足以下條件:①四條腿一樣長,椅腳與地面點接觸,四腳連線呈正方形。②地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。③地面相對平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。就可以的到肯定的結(jié)論。這比單純的理論教學(xué)更容易引起學(xué)生的興趣,同時也能擴(kuò)散學(xué)生的思維,使他們初步具有了利用數(shù)學(xué)方法來解決實際問題的思想,最后也能更進(jìn)一步加深對連續(xù)定義的理解。

又如,在開始講授極限理論時,對于數(shù)列極限的計算花費了很長時間,但是求數(shù)列極限究竟有什么意義和價值呢,如果僅僅指出他在后續(xù)課程的作用來給學(xué)生說意義不大,這只有在學(xué)生學(xué)完后才能感覺到。這里可以考慮通過實際問題來說明:

我們知道學(xué)習(xí)新東西后需要復(fù)習(xí)來鞏固,復(fù)習(xí)次數(shù)越多,掌握的越多,但是永遠(yuǎn)也不肯能完全掌握。下面我們利用數(shù)列和數(shù)列極限的定理來論證。

假設(shè)學(xué)生在每學(xué)習(xí)電腦一次,能掌握一定的新內(nèi)容,其掌握程度為A,記b0為開始學(xué)習(xí)電腦時所掌握的程度,易知,0?燮b0

3數(shù)學(xué)建模思想有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的綜合能力

通過以上兩個例子,我們發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型,把學(xué)生從理論學(xué)習(xí)的枯燥和繁瑣中解脫出來,使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)在實際中的作用,這不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,擴(kuò)散學(xué)生的思維,拓寬學(xué)生的知識面,使學(xué)生初步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想,更為重要的是在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來對實際問題進(jìn)行分析和求解過程中,通過對問題進(jìn)行分析,能培養(yǎng)學(xué)生自主探索知識的興趣和獨立求解問題的能力和方法,通過對各種問題的分析,研究,比較,達(dá)到觸類旁通的效果,發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想能力,同時能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極型和主動性,而不是死記結(jié)論,死套公式和法則的被動性學(xué)習(xí),從而對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)起到很好的促進(jìn)作用,也有利于在學(xué)習(xí)中的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

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[4]姜啟源,謝金星,葉?。?dāng)?shù)學(xué)模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

篇(7)

初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時,思維的發(fā)散能力往往欠缺,對于知識的遷移能力也弱,更談不上舉一反三了.因此教學(xué)中常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生重復(fù)犯錯,老師強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容還是不會做或者做錯.其實,出現(xiàn)這些情況,緣于在平時的教學(xué)中,師生沒有及時地總結(jié)數(shù)學(xué)模型.將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型是完成知識遷移的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)建模提出了明確的要求:強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度和價值觀方面得到進(jìn)步和發(fā)展”. 根據(jù)這一要求,教師要有目標(biāo)、有層次、有變化地設(shè)計教學(xué),適時引導(dǎo)學(xué)生將問題模型化,求解,證實,再解決,進(jìn)而提高數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.并潛移默化地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新精神.

二、教學(xué)片斷

秉承“問題情境―建立模型―解釋、應(yīng)用與拓展”的教學(xué)模式開展教學(xué)活動,并在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模,在應(yīng)用新知識解決實際問題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)、綜合思維和分析、解決問題的多種能力,取得了較好的成效.

片斷1:變一題,通一片

1.如圖1,在ABC中,AD平分∠BAC,CF∥AB,交AD延長線于F點,則是等腰三角形.

變式一如圖2,在ABC中,AD平分∠BAC,BF∥AD,交CA延長線于F點,則是等腰三角形.

兩個小題解決后,教師不失時機(jī)地追問:請同學(xué)們想一想,剛才我們做的兩道題有沒有什么共同特點?學(xué)生甲:好像都有角平分線和平行線.教師:觀察很仔細(xì).學(xué)生乙:都能找到等腰三角形.教師點撥:那么這里出現(xiàn)一個什么巧妙的圖形組合呢?

片斷2:變一變,滲透通性通法

2.如圖3,P1OA1,P2A1A2,P3A2A3,…,PnAn-1An都是等腰直角三角形,點P1,P2,P3,…,Pn在函數(shù)y=4x (x>0)的圖象上,斜邊OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x軸上,則點A1的坐標(biāo)是,點A2的坐標(biāo)是,點A2006的坐標(biāo)是.

此題的模型構(gòu)建,需要遵循“特殊”――“一般”的化歸思想.求A1,A2就是特殊點,利用形表示出P2點的坐標(biāo)(4+m,m),再將該點代人解析式可得關(guān)于m的方程.余下的點用同樣方法求得,最后找規(guī)律求得P2006的坐標(biāo).解決這個問題用到了很多的數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合,方程,化歸等.教師重點是幫助他們構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)模型,即“利用形表示點坐標(biāo)”――“利用數(shù)求得點坐標(biāo)”.并能夠深切體會它的妙用.教師緊跟兩個變式.

變式一若正P1OA1與正P2A1A2,頂點P1,P2在圖象上,求A2點的坐標(biāo).

變式二若正方形ABCO和正方形DEFA的頂點B,E在圖象上.求E點的坐標(biāo).

兩個變式把幾何背景變成了等邊三角形和正方形.變式旨在讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)方法.會把初步概括的模型,深入應(yīng)用.經(jīng)過一段時間的思考,學(xué)生自然體會到“數(shù)形結(jié)合”模型的妙處,果然可以活學(xué)活用.不難發(fā)現(xiàn),這樣的方法在這里仍然適用,而且恰到好處.經(jīng)過兩個變式的鞏固,學(xué)生進(jìn)一步掌握了“利用形表示點坐標(biāo)”――“利用數(shù)求得點坐標(biāo)”的模型.

三、結(jié)語